Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika

, P {ξ = x
2
} = p
2
, ..., P {ξ = x
n
} = p
n
.
Ravshanki,
p
1
+ p
2
+ ... + p
n
= 1
bo’ladi.
Diskret tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan
qiymatlari bilan ularning ehtimollari orasidagi munosabat taso-
difiy miqdorning taqsimot qonuni deyiladi.
Ko’p holda diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
ushbu
ξ x
1
x
2
x
3
... x
n
p p
1
p
2
p
3
... p
n
jadval orqali beriladi.
Misol. Pul-buyum lotereyasida 1 ta 1000000 so’m, 10 ta
100000 so’mdan, 100 ta 1000 so’mdan yutuq o’ynaladi. Lotereya
biletlarining umumiy soni 10000 ta. Bitta lotareya biletiga
ega bo’lgan kishining tasodifan yutishining taqsimot qonuni
topilsin.
C Ravshanki, tasodifiy miqdor ξ ning qabul qilishi mumkin
bo’lgan qiymatlari
x
1
= 1000, x
2
= 100000, x
3
= 1000000, x
4
= 0
bo’ladi. Ularning ehtimollrini topamiz:
46

p
1
= P {ξ = x
1
} =
100
10000
= 0, 01, p
2
= P {ξ = x
2
} =
=
10
10000
= 0, 001;
p
3
= P {ξ = x
3
} =
1
10000
= 0, 0001, p
4
= P {ξ = x
4
} =
1 − (0, 01 + 0, 001 + 0, 0001) = 0, 9889.
Demak, yutishning taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi:
ξ 1000 100000 1000000
0
p 0,01
0,001
0,0001 0,9889
. B
3
◦
. Diskret tasodifiy miqdorning matematik ku-
tilishi va uning xossalari
Aytaylik, ξ biror diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Bu taso-
difiy miqdor taqsimot qonuning ma’lum bo’lishi tasodifiy miq-
dorni to’la xarakterlaydi, ya’ni u to’g’risida to’liq ma’lumotga
ega bo’lish imkonini beradi.
Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni noma’lum bo’lgan
holda uni tasodifiy miqdorning sonli xaraktristikalari (mate-
matik kutilishi va dispersiyasi) yordamida o’rganiladi.
Faraz qilaylik, ξ tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin
bo’lgan qiymatlari
x
1
, x
2
, x
3
..., x
n
47

bo’lsin. Tasodifiy miqdor bu qiymatlarni mos ravishda
p
1
, p
2
, p
3
, ..., p
n
ehtimollar bilan qabul qilsin:
p
1
= P {ξ = x
1
}, p
2
= P {ξ = x
2
}, p
3
= P {ξ = x
3
}, ...,
p
n
= P {ξ = x
n
}.
1-ta’rif. Tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’l-
gan barcha qiymatlarini ularning mos ehtimollariga ko’pay-
tirshdan hosil bo’lgan ko’paytmalar yig’indisi ξ diskret tasod-
ifiy miqdorning matematik kutilishi deyiladi va M(ξ) kabi
belgilanadi.
Demak,
M(ξ) = x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ ... + x
n
p
n
=
n
X
k=1
x
k
p
k
.
Masalan, yuqorida keltirilgan misoldagi tasodifiy miqdor uchun
M(ξ) = 1000·0, 01+100000·0, 001+1000000·0, 0001+0·0, 9889 =
= 210 bo’ladi.
Quyidagi masalani qaraylik. Faraz qilaylik, n ta tajriba
o’tkazilgan bo’lib, bunda ξ tasodifiy miqdor x
1
, x
2
, ..., x
k
qiy-
matlari mos ravishda m
1
, m
2
, ..., m
k
martadan qabul qilsin,
bunda m
1
+ m
2
+ ... + m
k
= n bo’ladi. Ravshanki,
¯
x =
x
1
m
1
+ x
2
m
2
+ ... + x
k
m
k
n
48

miqdor ξ tasodifiy miqdorning qabul qilgan qiymatlarini o’rta
arifmetik qiymatlarini ifodalaydi. Keyingi tenglikdan
¯
x = x
1
·
m
1
n
+ x
2
·
m
2
n
+ ... + x
k
·
m
k
n
kelib chiqadi. Ma’lumki,
m
i
n
(i = 1, 2, ..., k)
son {ξ = x
i
} hodisaning nisbiy chastotasi W
i
=
m
i
n
ni ifodalay-
di. Bu nisbiy chastota {ξ = x
i
} hodisa ehtimoli p
i
= P {ξ =
x
i
} ga taxminan teng bo’ladi, yani
W
i
≈ p
i
.
Shuni e’tiborga olib x = x
1
·W
1
+x
2
·W
2
+...+x
n
·W
n
≈ x
1
·p
1
+
x
2
· p
2
+ ... + x
n
· p
n
= M(ξ). Demak, ξ tasodifiy miqdorning
matematik kutilishi shu tasodifiy miqdorning kuzatilayotgan
qiymatlari o’rta arifmetigiga taxminan teng bo’lar ekan.
Endi tasodifiy miqdor matematik kutilishining xossalarini
keltiramiz.
1-xossa. O’zgarmas sonning matematik kutilishi shu
sonning o’ziga teng: M(C) = C (C-const).
C Haqiqatan ham C ni faqat bitta C qiymatni qabul qiladi-
gan diskret tasodifiy miqdor deb qarash mumkin. Ravshanki,
p = P (ξ = C) = 1 bo’lib,
M(C) = C · 1 = C
49

bo’ladi.B
2-xossa. Agar ξ diskret tasodifiy miqdor, C-o’zgarmas
son bo’lsa, u holda
M(Cξ) = C · M(ξ)
bo’ladi, ya’ni o’zgarmas miqdorni matematik kutilish bel-
gisidan tashqariga chiqarish mumkin.
C Ma’lumki,
M(ξ) = x
1
· p
1
+ x
2
· p
2
+ ... + x
n
· p
n
.
Unda
M(C · ξ) = C · x
1
· p
1
+ C · x
2
· p
2
+ ... + C · x
n
· p
n
yoki
M(C · ξ) = C · (x
1
· p
1
+ x
2
· p
2
+ ... + x
n
· p
n
) = C · M(ξ)
bo’ladi.B
Tasodifiy miqdor matematik kutilishining keyingi xossalari-
ni isbotsiz keltirsakda, avvalo ba’zi tushunchalarni aytib o’tamiz.
Aytaylik, ikkita ξ
1
va ξ
2
diskret tasodifiy miqdorlar bo’lib,
ularning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar mos ravishda
x
1
, x
2
, ..., x
n
;
y
1
, y
2
, ..., y
m
50

bo’lsin. Ushbu
z
ij
= x
i
+ y
j
qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan η tasodifiy miqdor
ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miqdorlar yig’indisi deyiladi. Bunda
p
ij
= P {η = z
ij
} = P {ξ = x
1
} · P
ξ
1
=x
i
{ξ
2
= y
j
}.
Shu kabi ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miqdorlar ayirmasi (ξ
1
− ξ
2
)
hamda ko’paytmasi (ξ
1
· ξ
2
) tushunchalari kiritiladi.
Agar ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miqdorlarning har birini taqsimot
qonuni boshqasini qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini
qanday qabul qilishiga bog’liq bo’lmasa, ξ
1
va ξ
2
o’zaro bog’liq
bo’lmagan tasodifiy miqdorlar deyiladi.
3-xossa. ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miqdorlar yigindisi ξ
1
+ ξ
2
ning matematik kutilishi, ularning matematik kutilishlari
yig’indisiga teng:
M(ξ
1
+ ξ
2
) = M(ξ
1
) + M(ξ
2
).
C ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miqdorlar quyidagi taqsimot qonunlari
bilan berilgan bo’lsin:
ξ
1
x
1
x
2
p p
1
p
2
;
ξ
2
y
1
y
2
g g
1
g
2
.
ξ
1
+ ξ
2
miqdorning hamma mumkin bo’lgan qiymatlarini
tuzamiz : x
1
+ y
1
, x
1
+ y
2
, x
2
+ y
1
, x
2
+ y
2
. Bu qiymatlarga
51

mos ehtimollar mos ravishda p
11
, p
12
, p
21
, p
22
bo’lsin. U holda,
ξ
1
+ ξ
2
miqdorning matematik kutilishi M(ξ
1
+ ξ
2
) = (x
1
+
y
1
)p
11
+ (x
1
+ y
2
)p
12
+ (x
2
+ y
1
)p
21
+ (x
2
+ y
2
)p
22
= x
1
(p
11
+
p
12
) + x
2
(p
21
+ p
22
) + y
1
(p
11
+ p
21
) + y
2
(p
12
+ p
22
) bo’ladi.
p
11
+ p
12
= p
1
ekanligini ko’rsatamiz. {ξ
1
= x
1
} hodisa
{ξ
1
+ξ
2
= x
1
+y
1
} va {ξ
1
+ξ
2
= x
1
+y
2
} birgalikda bo’lmagan
hodisalarni yig’ndisidan iborat. Shuning uchun qo’shish teore-
masiga ko’ra p
1
= P {ξ
1
= x
1
} = P ({ξ
1
+ ξ
2
= x
1
+ y
1
} +
{ξ
1
+ ξ
2
= x
1
+ y
2
}) = P ({ξ
1
+ ξ
2
= x
1
+ y
1
}) + P ({ξ
1
+ ξ
2
=
x
1
+ y
2
}) = p
11
+ p
12
tenglikka ega bo’lamiz.
Shunga o’xshash p
21
+p
22
= p
2
, p
11
+p
21
= g
1
, p
12
+p
22
= g
2
tengliklar isbotlanadi. Demak M(ξ
1
+ ξ
2
) = (x
1
p
1
+ x
2
p
2
) +
(y
1
g
1
+ y
2
g
2
) = M(ξ
1
) + M(ξ
2
) bo’ladi.B
Natija. ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miqdorlar ayirmasi ξ
1
− ξ
2
ning matematik kutilishi, ularning matematik kutilishlar-
ining ayirmasiga teng:
M(ξ
1
− ξ
2
) = M(ξ
1
) − M(ξ
2
).
4-xossa. O’zaro bog’liq bo’lmagan ξ
1
va ξ
2
tasodifiy
miqdorlar ko’paytmasining matematik kutilishi, ularning
matematik kutilishlari ko’paytmasiga teng:
M(ξ
1
· ξ
2
) = M(ξ
1
) · M(ξ
2
).
52

Misol. ξ diskret tasodifiy miqdor bo’lib, M(ξ) uning mate-
matik kutilishi bo’lsin. Ushbu
ξ − M(ξ)
tasodifiy miqdorning matematik kutilishi topilsin.
C Tasodifiy miqdor matematik kutilishi xossalaridan foy-
dalanib
M(ξ − M(ξ)) = M(ξ) − M(M(ξ)) = M(ξ) − M(ξ) = 0
ni topamiz.B
Misol. Taqsimot qonunlari quyidagicha
ξ
1
-2
0
2
p 0,4 0,2 0,4
;
ξ
2
-100 0 100
p
0,3 0,4 0,3
bo’lgan tasodifiy miqdorlar ξ
1
va ξ
2
larning matematik kuti-
lishlari topilsin.
C Tasodifiy miqdorlar matematik kutilishi ta’rifidan foy-
dalanib topamiz:
M(ξ
1
) = (−2) · 0, 4 + 0 · 0, 2 + 2 · 0, 4 = 0;
M(ξ
2
) = (−100) · 0, 3 + 0 · 0, 4 + 100 · 0, 3 = 0.B
Keltirilgan misollardan ba’zi -bir hulosalarni chiqarish mumkin.
Tasodifiy miqdorlar o’rganilar ekan, uning qabul qilishi mum-
kin bo’lgan qiymatlari tasodifiy miqdorning matematik kuti-
lishi (o’rta qiymati) atrofida joylashishini aniqlash muhim.
53

Keltirilgan misollarning ikkinchisida ξ
1
va ξ
2
tasodifiy miq-
dorlarning matematik kutilishlari bir hil bo’lgan holda, ularn-
ing qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarni matematik ku-
tilishlari atrofida joylashishi turlicha: ξ
1
da ξ
2
ga qaragan-
da ancha yaqin joylashganligini ko’ramiz. Boshqacha aytgan-
da tasodifiy miqdorning matematik kutilishi uning qabul qili-
shi mumkin bo’lgan qiymatlarini tarqoqlik darajasini aniqlab
bermas ekan.
Odatda,
ξ − M(ξ)
tasodifiy miqdorning matematik kutilishidan chetlanishi deyi-
ladi.
Chetlanish ξ − M(ξ) ning matematik kutilishi
M(ξ − M(ξ)) = 0
bo’lishi chetlanish orqali tasodifiy miqdorning qabul qilishi mum-
kin bo’lgan qiymatlarini chetlanishning o’rta qiymatiga yaqin-
ror yoki uzoqror bo’lishini aniqlab bo’lmas ekan.
4
◦
Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi va
uning xossalari
Faraz qilaylik, ξ tasodifiy miqdor,
x
1
, x
2
, ..., x
n
,
lar tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymat-
lari bo’lsin.
54

2-ta’rif. Ushbu
M[(ξ − M(ξ))
2
]
miqdor ξ tasodifiy miqdorning dispersiyasi deyiladi va D(ξ)
kabi belgilanadi.
D(ξ) = M[(ξ − M(ξ))
2
].
Agar (ξ − M(ξ))
2
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni
(ξ − M(ξ))
2
(x
1
− M(ξ))
2
(x
2
− M(ξ))
2
... (x
n
− M(ξ))
2
p
p
1
p
2
...
p
n
bo’lsa, unda
D(ξ) = (x
1
−M(ξ))
2
·p
1
+(x
2
−M(ξ))
2
·p
2
+...+(x
n
−M(ξ))
2
·p
n
.
Misol. Taqsimot qonuni
ξ -1
0
1
p 0,4 0,2 0,4
;
η -10 0
10
p 0,3 0,4 0,3
bo’lgan tasodifiy miqdorlar ξ va η larning dispersiyalari to-
pilsin.
C Avvalo bu tasodifiy miqdorlarning matematik kutilishlar-
ini topamiz:
M(ξ) = (−1) · 0, 4 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 4 = 0;
55

M(η) = (−10) · 0, 3 + 0 · 0, 4 + 10 · 0, 3 = 0.
U holda, ξ −M(ξ) = ξ, η −M(η) = η bo’lib ularning taqsimot
qonunlari ham
ξ − M(ξ) -1
0
1
p
0,4 0,2 0,4
;
η − M(η) -10 0
10
p
0,3 0,4 0,3
bo’ladi.
Endi (ξ − M(ξ))
2
= ξ
2
va (η − M(η))
2
= η
2
tasodifiy
miqdorlarning taqsimot qonunlarini topamiz:
(ξ − M(ξ))
2
1
0
1
p
0,4 0,2 0,4
;
(η − M(η))
2
100 0 100
p
0,3 0,4 0,3
Dispersiya ta’rifiga ko’ra
D(ξ) = 1 · 0, 4 + 0 · 0, 2 + 1 · 0, 4 = 0, 8
D(η) = 100 · 0, 3 + 0 · 0, 4 + 100 · 0, 3 = 60.B
Keltirilgan misoldan, tasodifiy miqdorning dispersiyasi
uning qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlarini matematik
kutilishi (o’rta qiymat) atrofida tarqoqlanish darajasini ifo-
dalovchi son ekani ko’rinadi.
Endi dispersiyaning xossalarini keltiramiz.
1-xossa. Tasodifiy miqdorning dispersiyasini quyidagicha
ham yozsa bo’ladi:
D(ξ) = M(ξ
2
) − (M(ξ))
2
56

C Ma’lumki,
D(ξ) = M[ξ − M(ξ)]
2
tasodifiy miqdorning matematik kutilishi xossalaridan foydalanib
topamiz:
D(ξ) = M(ξ
2
− 2ξ · M(ξ) + (M(ξ))
2
) = M(ξ
2
) − 2M(ξ) ·
M(ξ) + (M(ξ))
2
= M(ξ
2
) − 2(M(ξ))
2
+ (M(ξ))
2
= M(ξ
2
) −
(M(ξ))
2
.B
1-xossada keltirib chiqarilgan formula dispersiyani hisoblash
uchun ancha qulaydir.
2-xossa. O’zgarmas sonning dispersiyasi 0 ga teng.
C D(C) = M(C
2
) − (M(C))
2
= C
2
− C
2
= 0, C =
const.B
3-xossa. Agar ξ tasodifiy miqdor C o’zgarmas son bo’lsa,
D(C · ξ) = C
2
· D(ξ)
bo’ladi.
C D(C · ξ) = M((C · ξ)
2
) − (M(C · ξ))
2
= M(C
2
· ξ
2
) −
(M(C) · M(ξ))
2
= M(C
2
) · M(ξ
2
) − M(C)
2
· M(ξ
2
) = C
2
·
M(ξ
2
) − C
2
(M(ξ))
2
= C
2
· (M(ξ
2
) − (M(ξ))
2
) = C
2
· D(ξ).B
4-xossa.Agar ξ va η bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdor-
lar bo’lsa,
D(ξ + η) = D(ξ) + D(η)
57

bo’ladi.
5-xossa.Agar ξ va η bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdor-
lar bo’lsa,
D(ξ − η) = D(ξ) + D(η)
bo’ladi.
Misol. Agar ξ tasodofiy miqdorning dispersiyasi 2 ga teng
bo’lsa, 2ξ + 1 tasodofiy miqdorning dispersiyasi topilsin.
C Shartga ko’ra D(ξ) = 2. 2ξ + 1 tasodifiy miqdorning
dispersiyasini xossalardan foydalanib topamiz:
D(2ξ + 1) = D(2ξ) + D(1) = 4D(ξ) + 0 = 4 · 2 = 8.B
Aytaylik, ξ tasodifiy miqdor, D(ξ) esa uning dispersiyasi
bo’lsin.
3-ta’rif. Ushbu
p
D(ξ) miqdor ξ tasodifiy miqdorning
o’rtacha kvadratik chetlanishi deyiladi va σ(ξ) kabi belgi-
lanadi:
σ(ξ) =
p
D(ξ).
Masalan,ushbu
ξ 4 10 20
p
1
4
1
2
1
4
taqsimot qonuniga ega bo’lgan ξ tasodifiy miqdorning o’rtacha
kvadratik chetlanishini topamiz. Bu tasodifiy miqdorning mate-
matik kutilishi
M(ξ) = 4 ·
1
4
+ 10 ·
1
2
+ 20 ·
1
4
= 11
58

bo’lib, uning dispersiyasi
D(ξ) = (4 − 11)
2
·
1
4
+ (10