Egri chiziqlarning parametrik tenglamalari. Vektorlarning geometrik va mexanik masalalarga tadbiqi

Tayanch iboralar: Egri chiziq urinmasi, urinmaning yo`naltiruvchi vektori, urinmaning kanonik tenglamasi, urinmaning oshkormas tenglamasi, normal tekislik va uning tenglamasi.
Urinma tushunchasi va uning Ta‘rifi bizga analitik geometriya kursidan ma‘lum. Lekin biz quyida urinmaning boshqacha, lekin oldingi ta‘riflarga teng kuchli bo`lgan ta‘rifini beramiz. Bu ta‘rif kelgusi mavzularni o`rganish uchun ancha qulaydir.

Aytaylik  egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo`lsin. Р nuqta orqali g to`g`ri chiziqni o`tkazamiz.  egri chiziqda Р nuqtaga yaqin bo`lgan Q nuqtani olamiz (2-shakl).

Р va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q nuqtadan g to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofani esa  bilan belgilaymiz.

Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda (/d)0 bo`lsa, u xolda g to`g`ri chiziqni  egri chiziqqa Р nuqtasida o`tkazilgan urinma deyiladi.

Agar  egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lsa, u xolda Q nuqta Р nuqtaga intilganda РQ to`g`ri chiziq shu urinmaga intiladi va aksincha, agar РQ to`g`ri chiziq Q nuqta Р nuqtaga intilganda biror to`g`ri chiziqqa intilsa bu to`g`ri chiziq shu nuqtadagi urinma bo`ladi.

TEOREMA. Silliq egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida urinmaga ega bo`lib, u yagonadir. Agar r=r(t) ning vektor tenglamasi bo`lsa, Р nuqtadagi urinmaning yo`nalishi r'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil bo`ladi.

ISBOT. Faraz qilaylik  egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lib, у g to`g`ri chiziqdan iborat bo`lsin. Р va Q nuqtalar orasidagi d masofani |f(t+t)-f(t)| ko`rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yerda Q nuqtaga parametrning t+t qiymati mos qo`yilgan. Shuningdek, shaklga asosan =[|f(t+t)-f(t)|] ekanini topamiz. Farazimizga asosan g to`g`ri chiziq Р nuqtadagi urinma bo`lgani uchun ta‘rifga ko`ra Q nuqta Р nuqtaga intilganda /d0 bo`ladi. Bundan foydalanib quyidagilarni topamiz:

Ma‘lumki, QР да t0. Shuning uchun oxirida t0 da limitga o`tib, [f'(t),]/[f'(t)]0 ni olamiz. Bundan [f'(t),]=0 kelib chiqadi. Agar f'(t)0, 0 ekanini etiborga olsak, f'(t)// kelib chiqadi.

Demak, urinma mavjud bo`lsa, uning yo`nalishi f'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil ekan. Bundan urinmaning yagonaligi kelib chiqadi.

Xuddi shunday Р nuqta orqali o`tuvchi va f'(t) vektorga parallel bo`lgan to`g`ri chiziqning urinma ekanligi xam ravshandir.