|
Функцию полезности Кобба-Дугласа, которая используется довольно часто,
можно представить в двух формах;
и
•
Эти формулы эквивалентны при решении задач теории спроса, поскольку обе
они дают одинаковые функции полезности для товаров X и Y. Мы выведем функ
ции спроса только для первой формы, а вторую оставим студентам для самостоя-
тельного вывода.
Чтобы установить функции спроса для X и Yc учетом заданного бюджетного
ограничения, мы сначала напишем функцию Лагранжа:
Теперь, дифференцируя эту функцию относительно X, Y и X и приравнивая
производные к нулю, получаем:
Первые два условия подразумевают, что
(А4.13)
(А4.14)
Объединив эти выражения с последним условием (бюджетным ограничени
ем), получаем:
или X - 1/1. Теперь мы можем подставить это выражение для X обратно в (А4.13) и
(А4.14), чтобы получить функции спроса:
В этом примере спрос на каждый товар зависит только от цены этого товара и
от дохода, но не от цены другого товара. Таким образом, перекрестные эластично
сти спроса по цене равняются 0.
Глава 4. Индивидуальный и рыночный спрос 143
Двойственность теории поведения потребителя
Существуют два способа нахождения оптимума потребителя. Оптимальный вы
бор между X и У можно рассматривать не только как проблему поиска самой высо
кой кривой безразличия, которая касается бюджетной линии — максимального
значения Щ ), но и как проблему выбора самой низкой бюджетной линии, которая
касается данной кривой безразличия — т. е. минимальных бюджетных расходов.
Говоря о двух этих возможностях, мы используем термин двойственность
(duality). Чтобы рассмотреть работу этогЪ принципа, решим двойственную зада
чу об оптимальном поведении потребителя, которая состоит в минимизации из
держек достижения конкретного уровня полезности
Минимизировать
с учетом ограничения
Соответствующая функция Лагранжа будет иметь вид:
(А4.15)
где ц — это множитель Лагранжа. Дифференцируя Ф относительно X, Yи ц и при
равнивая производные к 0, мы находим следующие необходимые условия мини
мизации расходов:
и
Решая первые два уравнения, мы видим, что
Поскольку также справедливо, что
то сводящий к минимуму издержки выбор X и У должен находиться в точке каса
ния бюджетной линии и кривой безразличия с уровнем полезности U*. Поскольку
это та же самая точка, в которой полезность максимизируется в нашем исходном
случае, то, решив двойственную задачу минимизации расходов, мы получим те же
функции спроса, что и в случае решения прямой проблемы максимизации.
Чтобы пронаблюдать двойственный подход в действии, давайте пересмотрим
пример с функцией Кобба-Дугласа. Алгебра расчетов будет проще, если мы вос
пользуемся экспоненциальной формой функции полезности Кобба-Дугласа,
Тогда функция Лагранжа будет выглядеть следующим образом:
(А4.16)
Дифференцируя ее относительно X, Y и ц и приравнивая производные к 0, мы
получаем:
144 Часть II. Производители, потребители и конкурентные рынки
Умножая первое уравнение на X
1
а второе — на FH складывая их, получаем
Приравняем / к расходам, которые минимизируют издержки потребителя
(если человек не тратит весь свой доход, чтобы достичь уровня полезности [/*, U*
не максимизирует полезность в исходной задаче). Из этого следует, что |i
e
I/U*.
Заменяя ц в приведенных выше уравнениях, получаем
_ » W
Это те же функции спроса, которые мы вывели ранее.
Эффект дохода и эффект замещения
Функция спроса сообщает нам, как изменения в доходе и ценах товаров повлияют
на любой максимизирующий полезность выбор потребителя. Однако при любом
изменении цены важно разграничить ту его часть, которая вызывается движением
вдоль кривой безразличия, и ту часть, которая приходится на движение к другой
кривой безразличия (и, следовательно, изменяет покупательную способность).
Чтобы провести это различие, рассмотрим, как изменение цены на товар Xвлияет
на спрос на него. Как объяснялось в п. 4.2, изменение спроса можно свести к эф
фекту замещения (изменение в величине спроса при фиксированном уровне по
лезности) и эффекту дохода (изменение в величине спроса за счет изменения
уровня полезности при неизменной относительной цене товара X). Мы обознача
ем изменение спроса на товар X, которое возникает в результате изменения цены
единицы товара X при неизменной полезности, как
Таким образом, общее изменение в величине спроса на товар X, возникающее в
результате изменения P
x
на единицу, составляет
(А4.17)
Первое слагаемое в правой части уравнения (А4.17) означает эффект замеще
ния (поскольку полезность фиксирована); второе слагаемое — эффект дохода (по
скольку доход возрастает).
Из бюджетного ограничения потребителя, мы узнаем при помо
щи дифференцирования, что
(А4.18)
Если предположить, что потребитель владеет товарами X и Y
1
то уравнение
(А4.18) показало бы, что при росте цены товара X на $1 величина дохода, который
потребитель может получить от продажи этого товара, увеличится на $Х. Теория
поведения потребителя, однако, не рассматривает потребителя как возможного
владельца товаров. Из уравнения (А4.18) мы узнаем, в каком потребительском
доходе нуждается потребитель, чтобы его благосостояние после изменения цены
осталось таким же, как и до него. По этой причине сейчас чаще пишут, что эффект
t
*
Do'stlaringiz bilan baham: |
