Du-faz eps

§ 9.
Исследование функций.
9.1. Исследование возрастания и убывания функции.
Функция
y
=
f
(
x
)
называется
возрастающей
(
убывающей
) на отрезке
[
a, b
]
, если для любых
x
1
и
x
2
> x
1
на этом отрезке
f
(
x
1
)
< f
(
x
2
)
(
f
(
x
1
)
> f
(
x
2
)
). Интервалы возрастания и убывания функции называ-
ются интервалами монотонности.
Достаточное условие возрастания(убывания) функции.
Если функция дифференцируема на этом отрезке и
f
′
(
x
)
>
0
, то функ-
ция возрастает. Если
f
′
(
x
)
<
0
, то функция убывает.
9.2. Нахождение точек экстремума функции.
Точка
x
=
=
x
0
называется точкой
максимума
(
минимума
) для функции
y
=
=
f
(
x
)
, если
f
(
x
0
)
является наибольшим (наименьшим) значением
29

---

функции в некоторой окрестности этой точки. Точки максимума и ми-
нимума называются точками экстремума, а значения функции в этих
точках – ее экстремумами.
Необходимым условием экстремума
является равенство
нулю или отсутствие первой производной функции в точке
x
0
, т.е.
f
′
(
x
0
) = 0
или не существует. Эти точки называются
критическими
.
Первым достаточным условием экстремума
в точке
x
0
является смена знака у первой производной функции при переходе
x
через точку
x
0
. Если
f
′
(
x
)
при переходе через точку
x
0
меняет знак
плюс на минус, то в точке
x
0
функция имеет максимум, в против-
ном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку
производная не меняет знак, то в точке
x
0
экстремума нет.
Второе достаточное условие экстремума
. Пусть функция
f
(
x
)
имеет вторую производную в критической точке
x
0
. Если
f
′′
(
x
0
)
>
>
0
(
<
0
), то точка
x
0
является точкой минимума (максимума).
9.3. Исследование выпуклости функции.
Функция
y
=
=
f
(
x
)
называется
выпуклой вверх
(
вниз
) на интервале
(
a, b
)
, если
касательные к графику функции на этом интервале расположены вы-
ше (ниже) графика функции.
Достаточное условие выпуклости функции.
Если функ-
ция дважды дифференцируема на этом отрезке и
f
′′
(
x
)
>
0
, то функ-
ция является выпуклой вниз. Если
f
′′
(
x
)
<
0
, то функция является
выпуклой вверх.
Точки, в которых выпуклость переходит в вогнутость, или наобо-
рот, называются
точками перегиба
функции. При переходе через эти
точки вторая производная
f
′′
(
x
)
меняет знак.
9.4. Асимптоты к графику функции.
Прямая называется
асимптотой
к графику функции, если при стремлении к бесконечности
30

---

расстояние от графика до прямой стремится к нулю.
Асимптоты бывают
вертикальными
, они показывают поведение
функции в окрестности особой точки, когда
y
→ ±∞
, и наклонными,
дающими представление о поведении функции при
x
→ ±∞
. Если
a
– особая точка, то уравнение вертикальной асимптоты
x
=
a
.
Кривая
y
=
f
(
x
)
имеет
наклонную
асимптоту при
x
→ ∞
, урав-
нение которой
y
=
kx
+
b
, если существуют пределы:
lim
x
→∞
f
(
x
)
x
=
k
и
lim
x
→∞
[
f
(
x
)
−
kx
] =
b.
В случае
k
= 0
асимптота называется
горизонтальной
, ее уравнение
y
=
b
= lim
x
→∞
f
(
x
)
.
9.5. План исследования функции и построения ее гра-
фика.
1. Область определения функции, ее особые точки, вертикальные
асимптоты.
2. Исследование поведения функции при
x
→ ∞
. Наклонные (гори-
зонтальные) асимптоты.
3. Вид функции (четная/нечетная/общего вида). Периодичность.
4.
f
(
x
) = 0
⇒
нули функции, интервалы знакопостоянства.
5.
f
′
(
x
) = 0
⇒
точки экстремума, интервалы монотонности.
6.
f
′′
(
x
) = 0
⇒
точки перегиба, интервалы выпуклости.
Пример 1.
Исследовать функцию
y
=
4
x
x
2
+ 1
и построить её
график.
1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть
(
−∞
,
∞
)
. Следовательно, у этой кривой нет особых точек и верти-
кальных асимптот.
2. Найдем предел функции при
x
→ ∞
:
lim
x
→∞
4
x
x
2
+ 1
= lim
x
→∞
4
x
1 +
1
x
2
=
0
1 + 0
= 0
31

---

Следовательно,
y
= 0
– горизонтальная асимптота.
3.
f
(
−
x
) =
4(
−
x
)
(
−
x
)
2
+1
=
−
4
x
x
2
+1
=
−
f
(
x
)
. Значит, функция является
нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
4.
f
(
x
) =
4
x
x
2
+1
= 0
⇒
x
= 0
– нуль функции. Функция отрица-
тельна при
x
∈
(
−∞
,
0)
и положительна при
x
∈
(0
,
∞
)
.
5.
f
′
(
x
) =
−
4(
x
2
−
1)
(
x
2
+1)
2
= 0
⇒
x
2
−
1 = 0
⇒
x
=
±
1
. У функции две
критические точки. При
x
∈
(
−∞
,
−
1)
∪
(1
,
∞
)
производная
f
′
(
x
)
<
0
,
следовательно, на этих интервалах функция убывает. При
x
∈
(
−
1
,
1)
f
′
(
x
)
>
0
функция возрастает. Точка
x
=
−
1
– это точка минимума
функции, точка
x
= 1
– точка максимума.
6.
f
′′
(
x
) =
8
x
(
x
2
−
3)
(
x
2
+1)
3
= 0
⇒
x
= 0
или
x
=
±
√
3
. При
x
∈
(
inf ty,
−
−
sqrt
3)
∪
(0
,
√
3)
вторая производная
f
′′
(
x
)
<
0
, на этих интервалах
функция выпукла вверх. На интервалах
x
∈
(
−
sqrt
3
,
0)
∪
(
√
3
,
∞
)
f
′′
(
x
)
>
0
и функция выпукла вниз.
Строим график функции, учитывая точки максимума и минимума,
три точки перегиба и горизонтальную асимптоту:
0
x
y
1
−
1
2
2
√
3
√
3
−
√
3
−
√
3
9.6. Задания к теме.
Исследовать функцию и построить ее график.
1.
y
=
x
2
+ 4
x
+ 5
,
2.
y
= 4
x
−
x
3
3
,
3.
y
=
1
1 +
x
2
,
32

---

4.
y
=
x
2
−
6
x
+ 13
x
−
3
,
5.
y
=
x
3
x
2
−
3
,
6.
y
=
x
2
e
−
x
,
7.
y
=
x
3
+ 6
x
2
+ 9
x,
8.
y
=
(
x
−
1)
2
x
2
+ 1
,
9.
y
=
xe
−
x
2
/
2
.
§ 10.
Нахождение наибольших и наименьших
значений величин.
1. Решеткой длиной 120м нужно огородить прилегающую к дому пря-
моугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры
прямоугольной площадки.
2. В треугольник с основанием
a
и высотой
h
вписан прямоугольник
наибольшей площади. Определите его площадь.
3. Из квадратного листа картона со стороной
a
вырезаются по уг-
лам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается пря-
моугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезанного
квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
4. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 10см. При
каком большем основании ее площадь будет наибольшей?
5. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного по-
лукругом. Периметр сечения равен 18м. При каком радиусе полу-
круга площадь сечения будет наибольшей?
6. В полукруг радиуса
R
вписан прямоугольник наибольшей площа-
ди. Определите его размеры.
7. Из круга вырезан сектор, содержащий угол
α
, а затем свертывает-
ся в конус. При каком угле
α
объем конуса будет наибольшим.
Ответы: 1.
30м х 60м.
2.
ah/
4
.
3.
a/
6
.
4.
20 см.
5.
18
π
+4
≈
2
.
5
.
6.
S
max
=
R
2
при высоте
x
=
R
√
2
.
7.
α
= 2
π
q
2
3
.
33

---

§ 11.
Неопределенный интеграл. Вычисление
интегралов методами разложения и
замены переменной.
Первообразной
функции
f
(
x
)
называется функция
F
(
x
)
, произ-
водная которой равна
f
(
x
)
, т.е.
F
′
(
x
) =
f
(
x
)
. Поскольку
(
F
(
x
) +
+
C
)
′
=
f
(
x
)
, где
C
– произвольная постоянная, у любой функции
f
(
x
)
бесчисленное множество первообразных.
Множество всех первообразных одной функции называется
неопре-
деленным интегралом
этой функции и обозначается
R
f
(
x
)
dx
, причем
f
(
x
)
называется подынтегральной функцией,
f
(
x
)
dx
– подынтеграль-
ным выражением.
11.1. Таблица неопределенных интегралов.
1.
Z
x
n
dx
=
x
n
+1
n
+ 1
+
C
(
n
6
= 1)
2.
Z
dx
x
= ln
|
x
|
+
C
3.
Z
e
x
dx
=
e
x
+
C
4.
Z
a
x
dx
=
a
x
ln
a
+
C
5.
Z
cos
xdx
= sin
x
+
C
6.
Z
sin
xdx
=
−
cos
x
+
C
7.
Z
dx
cos
2
x
= tg
x
+
C
8.
Z
dx
sin
2
x
dx
=
−
ctg
x
+
C
9.
Z
dx
x
2
+
a
2
=
1
a
arctg
x
a
+
C
10.
Z
dx
√
a
2
−
x
2
= arcsin
x
a
+
C
11.
Z
dx
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
x
−
a
x
+
a
+
C
12.
Z
dx
√
x
2
±
a
2
= ln
x
+
p
x
2
±
a
2
+
C
Приведенный список не исчерпывает все функции, которые мож-
34

---

но проинтегрировать. Существуют приемы, позволяющие проинтегри-
ровать более сложные функции.
11.2. Интегрирование методом разложения.
Некоторые
интегралы можно представить в виде линейной комбинации табличных
интегралов, пользуясь свойством линейности интеграла:
Z 
Af
(
x
) +
Bg
(
x
)
dx
=
A
Z
f
(
x
)
dx
+
B
Z
g
(
x
)
dx.
Пример 1.
Вычислить
R
x
2
−
2
x
3
dx
. Представим подынтегральную
дробь в виде разности двух дробей и интеграл от разности заменим на
разность интегралов:
Z
x
2
−
2
x
3
dx
=
Z 
x
2
x
3
−
2
x
3
dx
=
Z
x
−
1
dx
−
2
Z
x
−
3
dx
=
= ln
x
−
2
x
−
2
−
2
+
C
= ln
x
+
1
x
2
+
C.
Пример 2.
Вычислить
R
dx
sin
2
x
cos
2
x
. Воспользуемся тождеством
1 = cos
2
x
+ sin
2
x
. Тогда получим:
Z
dx
sin
2
x
cos
2
x
=
Z
cos
2
x
+ sin
2
x
sin
2
x
cos
2
x
dx
=
Z
dx
sin
2
x
+
Z
dx
cos
2
x
=
=
−
ctg
x
+ tg
x
+
C.
Пример 3.
Вычислить
R
x
4
x
2
+1
dx
. Мы не изменим подынтеграль-
ную функцию, если вычтем и прибавим в числителе единицу и раз-
ность
x
4
−
1
представим в виде
(
x
2
−
1)(
x
2
+ 1)
:
Z
x
4
x
2
+ 1
dx
=
Z
x
4
−
1 + 1
x
2
+ 1
dx
=
Z
(
x
2
−
1)(
x
2
+ 1) + 1
x
2
+ 1
dx
=
=
Z 
x
2
−
1 +
1
x
2
+ 1
dx
=
Z
x
2
dx
−
Z
dx
+
Z
dx
x
2
+ 1
=
=
x
3
3
−
x
+ arctg
x
+
C.
35

---

11.3. Интегрирование методом замены переменной.
Пусть
x
=
ϕ
(
t
)
. Тогда дифференциал
dx
=
ϕ
′
(
t
)
dt
и справедлива
формула
Z
f
(
x
)
dx
=
Z
f
[
ϕ
(
t
)]
·
ϕ
′
(
t
)
dt.
Пример 4.
Вычислить
R
√
4
x
−
1
dx
. Сделаем замену
t
= 4
x
−
1
.
Тогда
dt
= (4
x
−
1)
′
dx
= 4
dx
и
dx
=
1
4
dt
. Следовательно,
Z
√
4
x
−
1
dx
=
Z
√
t
·
1
4
dt
=
1
4
Z
t
1
2
dt
=
1
4
t
3
2
3
2
+
C
=
(4
x
−
1)
3
2
6
+
C.
Пример 5.
Вычислить
R
dx
x
2
+2
x
+2
. В знаменателе выделим полный
квадрат:
x
2
+ 2
x
+ 2 = (
x
+ 1)
2
+ 1
и сделаем замену
t
=
x
+ 1
. При
такой замене
dt
=
dx
. Теперь
Z
dx
x
2
+ 2
x
+ 2
=
Z
dt
t
2
+ 1
= arctg
t
+
C
= arctg(
x
+ 1) +
C.
Пример 6.
Найти
R
e
−
x
2
xdx
. Сделаем замену
t
=
−
x
2
. Тогда
dt
= (
−
x
2
)
′
dx
=
−
2
xdx
и
dx
=
dt/
(
−
2
x
)
:
Z
e
−
x
2
xdx
=
Z
e
t
x
dt
−
2
x
=
−
1
2
Z
e
t
dt
=
−
1
2
e
t
+
C
=
−
1
2
e
−
x
2
+
C.
Пример 7.
Найти
R
tg
xdx
. Сделаем замену
t
= cos
x
, тогда
dt
= (cos
x
)
′
dx
=
−
sin
xdx
и
sin
xdx
=
−
dt
:
Z
tg
xdx
=
Z
sin
x
cos
x
dx
=
−
Z
dt
t
=
−
ln
|
t
|
+
C
=
−
ln
|
cos
x
|
+
C.
11.4. Задания к теме.
Вычислить интегралы:
1.
Z
10
x
3
+ 3
x
4
dx,
2.
Z
(
√
x
−
1)
3
x
dx,
3.
Z
cos
2
xdx,
4.
Z
(2
x
+ 3)
100
dx,
5.
Z
dx
cos
2
5
x
,
6.
Z
ctg
xdx,
36

---

7.
Z
dx
x
(1 + ln
x
)
,
8.
Z
x
2
dx
3
√
1 +
x
3
,
9.
Z
(
x
2
+ 1)
3
x
4
dx,
10.
Z
4
x
−
1
3
√
x
2
dx,
11.
Z
cos 2
x
cos
2
x
sin
2
x
dx,
12.
Z
√
4
x
+ 2
dx,
13.
Z
sin(
ax
+
b
)
dx,
14.
Z
cos
x
sin
4
x
dx,
15.
Z
e
2
x
dx
1
−
3
e
2
x
,
16.
Z
x
p
x
2
+ 1
dx.
Ответы: 1.
10 ln
x
−
1
x
3
+
C
.
2.
2
3
x
3
/
2
−
3
x
+ 6
√
x
−
ln
x
+
C
.
3.
sin 2
x
4
+
x
2
+
C
.
4.
(2
x
+3)
101
202
+
C
.
5.
tg 5
x
5
+
C
.
6.
ln sin
x
+
C
.
7.
ln(1+ln
x
)+
+
C
.
8.
(1+
x
3
)
2
/
3
2
+
C
.
9.
x
3
3
+ 3
x
−
3
x
+
1
3
x
3
+
C
.
10.
3
3
√
x
(
x
−
1) +
C
.
11.
−
tg
x
−
ctg
x
+
C
.
12.
(4
x
+2)
3
/
2
6
+
C
.
13.
−
cos(
ax
+
b
)
a
+
C
.
14.
−
1
3 sin
3
x
+
C
.
15.
−
ln(1
−
3
e
2
x
)
6
+
C
.
16.
(
x
2
+1)
3
/
2
3
+
C
.