Du-faz eps

§ 6.
Вычисление пределов
Предел функции
f
(
x
)
в точке
x
=
a
обозначается как
lim
x
→
a
f
(
x
)
. В
случае, когда функция
f
(
x
)
непрерывна и определена в точке
x
=
a
,
то
lim
x
→
a
f
(
x
) =
f
(
a
)
.
Свойства пределов (если
lim
u
и
lim
v
существуют):
1.
lim(
u
+
v
) = lim
u
+ lim
v
.
2.
lim(
uv
) = lim
u
·
lim
v
.
3.
lim(
u
v
) =
lim
u
lim
v
,
lim
v
6
= 0
.
Раскрытие неопределенностей – методы вычисления пределов
функций, заданных формулами, которые в результате формальной под-
становки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть
переходят в выражения типа:
0
0
,
n
∞
∞
o
,
{
0
· ∞}
,
{∞ − ∞}
,
0
0
,
{
1
∞
}
,
∞
0
. В случае появления таких неопределенностей невозмож-
но сразу сказать о том, существуют или нет искомые пределы, не
говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
6.1. Раскрытие неопределенностей типа
0
0
.
Для рас-
крытия такой неопределенности обычно используется метод разложе-
ния на множители числителя и знаменателя с последующим сокраще-
нием одинаковых множителей.
Пример 1.
Найти
lim
x
→
1
x
2
−
3
x
+ 2
x
2
−
1
. Имеем неопределенность типа
22

---

0
0
. Разложим на множители числитель и знаменатель:
lim
x
→
1
x
2
−
3
x
+ 2
x
2
−
1
=
0
0
= lim
x
→
1
(
x
−
1)(
x
−
2)
(
x
−
1)(
x
+ 1)
=
= lim
x
→
1
x
−
2
x
+ 1
=
1
−
2
1 + 1
=
−
1
2
.
Пример 2.
Найти
lim
x
→
0
x
√
1 + 3
x
−
1
. Для разложения знаменате-
ля на множители используем прием умножения обеих частей на сопря-
женное к знаменателю выражение:
lim
x
→
0
x
√
1 + 3
x
−
1
=
0
0
= lim
x
→
0
x
(
√
1 + 3
x
+ 1)
(
√
1 + 3
x
−
1)(
√
1 + 3
x
+ 1)
=
= lim
x
→
0
x
(
√
1 + 3
x
+ 1)
(1 + 3
x
−
1)
= lim
x
→
0
√
1 + 3
x
+ 1
3
=
√
1 + 0 + 1
3
=
2
3
6.2. Раскрытие неопределенностей типа
n
∞
∞
o
.
Для рас-
крытия неопределенности этого типа обычно используется метод деле-
ния числителя и знаменателя на наивысшую степень переменной.
Пример 3.
Найти
lim
x
→∞
x
−
3
x
2
x
2
+ 1
. Имеем неопределенность типа
n
∞
∞
o
. Наивысшая степень числителя и знаменателя равна двум. Де-
лим числитель и знаменатель на
x
2
:
lim
x
→∞
x
−
3
x
2
x
2
+ 1
=
n
∞
∞
o
= lim
x
→∞
1
x
−
3
1 +
1
x
2
=
0
−
3
1 + 0
=
−
3
.
Здесь мы учли, что
1
∞
= 0
:
Пример 4.
Найти
lim
x
→∞
(
x
−
1)
2
√
x
2
+ 4
. Выделяем наивысшие степени
числителя и знаменателя:
lim
x
→∞
(
x
−
1)
2
√
x
2
+ 4
=
n
∞
∞
o
= lim
x
→∞
x
2
1
−
1
x
2
x
q
1 +
4
x
2
= lim
x
→∞
1
−
1
x
2
1
x
q
1 +
4
x
2
=
=
(1
−
0)
2
0
√
1 + 0
=
1
0
=
∞
.
23

---

Неопределенности остальных типов обычно сводят к неопределен-
ностям типа
0
0
,
n
∞
∞
o
путем алгебраических преобразований.
6.3. Задания к теме.
Найти пределы:
1.
lim
x
→
2
x
2
−
4
x
+ 1
2
x
+ 1
,
2.
lim
x
→
3
x
−
3
x
2
−
2
x
+ 3
,
3.
lim
x
→
π
tg
x
sin 2
x
,
4.
lim
x
→∞
3
x
−
1
x
2
−
9
,
5.
lim
x
→∞
x
3
−
1
x
2
+ 5
,
6.
lim
x
→∞
√
x
−
6
x
3
x
+ 1
,
7.
lim
x
→
0
√
1 +
x
−
√
1
−
x
x
,
8.
lim
x
→
1
3
√
x
−
1
√
x
−
1
,
9.
lim
x
→−
2
3
x
+ 6
x
3
+ 8
,
10.
lim
x
→
3
9
−
x
2
√
3
x
−
3
,
11.
lim
x
→∞
5
x
2
−
3
x
+ 2
2
x
2
+ 4
x
+ 1
,
12.
lim
x
→∞
3
x
+ 1
√
3
x
2
+ 1
.
Ответы: 1.
1
5
.
2.
1
2
.
3.
1
2
.
4.
0
.
5.
∞
.
6.
2
.
7.
1
.
8.
2
3
.
9.
1
4
.
10.
−
12
.
11.
5
2
.
12.
√
3
.
§ 7.
Комплексные числа
Мнимая единица
– это число, квадрат которой равен
−
1
:
i
2
=
−
1
или
i
=
√
−
1
.
Комплексные числа
– расширение множества вещественных чисел.
Любое комплексное число
z
может быть представлено как формальная
сумма
z
=
x
+
iy
, где
i
– мнимая единица, а
x
и
y
– вещественные
числа, называемые действительной и мнимой частями соответственно:
x
= Re
z
,
y
= Im
z
.
Если для геометрической интерпретации вещественных чисел ис-
пользовалась числовая прямая, то для интерпретации комплексных чи-
сел используется плоскость, где по оси абсцисс откладывается действи-
тельная часть, а по оси ординат – мнимая.
24

---

0
5
3
−
3
x
y
z
= 5 + 3
i
z
= 5
−
3
i
Комплексно сопряженным числом к
z
=
x
+
iy
называется число
z
=
x
−
iy
. Например, для числа
z
= 5 + 3
i
комплексно сопряженным
будет
z
= 5
−
3
i
.
С комплексными числами тесно связана основная теорема алгеб-
ры, которая гласит, что алгебраическое уравнение порядка
n
z
n
+
a
n
−
1
z
n
−
1
+
. . .
+
a
1
z
+
a
0
= 0
с комплексными коэффициентами
a
k
имеет ровно
n
комплексных кор-
ней:
z
1
,
z
2
, . . . ,
z
n
. Если все коэффициенты
a
k
вещественные, корни
уравнения будут либо чисто вещественные числа, либо пары комплекс-
но сопряженных корней.
Пример 1.
Решить квадратное уравнение
x
2
+ 4
x
+ 40 = 0
. Вы-
числяем дискриминант
D
= 4
2
−
4
·
40 =
−
144
. Так как
D <
0
уравнение не имеет вещественных корней, но из основной теоремы ал-
гебры следует, что у квадратного уравнения есть два корня. Учитывая,
что
√
D
=
√
−
144 =
√
144
·
√
−
1 = 12
i
, найдем
x
1
,
2
=
−
4
±
√
D
2
=
−
4
±
12
i
2
=
−
2
±
6
i.
25

---

Пример 2.
Найти все корни уравнения
x
3
= 8
. Из основной теоре-
мы алгебры следует, что у данного уравнения должно быть три корня:
x
3
= 8
⇒
x
3
−
2
2
= 0
⇒
(
x
−
2)(
x
2
+ 2
x
+ 4) = 0
.
Из условия обращения первой скобки в нуль находим первый корень:
x
1
= 2
, из условия обращения в нуль второй скобки – два остальных:
x
2
+ 2
x
+ 4 = 0
⇒
D
=
−
12
⇒
√
D
= 2
√
3
i
x
2
=
−
2
−
2
√
3
i
2
=
−
1
−
√
3
i,
x
3
=
−
1 +
−
√
3
i.
7.1. Задания к теме.
Найти все корни уравнений:
1.
x
2
+ 25 = 0
,
2.
x
2
−
2
x
+ 5 = 0
,
3.
x
3
+ 8 = 0
,
4.
x
4
+ 5
x
2
−
36 = 0
,
5.
x
4
+ 4
x
2
+ 4 = 0
,
6.
x
4
+ 4 = 0
,
7.
x
4
−
6
x
3
+ 10
x
2
= 0
,
8.
x
4
= 81
,
9.
x
6
+ 64 = 0
.
Ответы: 1.
±
5
i
.
2.
1
±
2
i
.
3.
−
2
,
1
±
√
3
.
4.
±
2
,
±
3
i
.
5.
±
√
2
i
,
±
√
2
i
.
6.
±
1
±
i
.
7.
0
,
0
,
3
±
i
.
8.
±
3
,
±
3
i
.
9.
±
2
i
,
±
√
3
±
i
.
§ 8.
Вычисление производных.
Производной
функции
f
(
x
)
называется функция, обозначаемая
как
f
′
(
x
)
равная пределу отношения
f
′
(
x
) = lim
∆
x
→
0
f
(
x
+ ∆
x
)
−
f
(
x
)
∆
x
26

---

8.1. Таблица производных элементарных функций
1.
(
C
)
′
= 0
2.
(
x
n
)
′
=
nx
n
−
1
3.
(ln
x
)
′
=
1
x
4.
(log
a
x
)
′
=
1
x
ln
a
5.
(
e
x
)
′
=
e
x
6.
(
a
x
)
′
=
a
x
ln
a
7.
(sin
x
)
′
= cos
x
8.
(cos
x
)
′
=
−
sin
x
9.
(tg
x
)
′
=
1
cos
2
x
10.
(ctg
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
11.
(arcsin
x
)
′
=
1
√
1
−
x
2
12.
(arccos
x
)
′
=
−
1
√
1
−
x
2
13.
(arctg
x
)
′
=
1
x
2
+ 1
14.
(arcctg
x
)
′
=
−
1
x
2
+ 1
8.2. Правила вычисления производных.
Для вычисления
производных (или, другими словами, дифференцирования) применя-
ются следующие правила:
1.
(
Cu
)
′
=
Cu
′
– вынесение постоянного множителя.
2.
(
u
+
v
)
′
=
u
′
+
v
′
– дифференцирование суммы.
3.
(
uv
)
′
=
u
′
v
+
uv
′
– дифференцирования произведения.
4.
u
v
′
=
u
′
v
−
uv
′
v
2
– дифференцирование дроби.
5. Если
y
=
f
(
u
)
, а
u
=
g
(
x
))
, то
y
(
x
) =
f
[
g
(
x
)]
– сложная
функция (функция от функции). Ее производная
y
′
=
f
′
(
u
)
·
g
′
(
x
)
.
Пример 1.
Найти производную функции
y
= 2
x
3
−
3 sin
x
+
1
3
√
x
2
.
Используем первое и второе правила дифференцирования:
y
′
= 2
x
3
′
+ (
−
3 sin
x
)
′
+
1
3
√
x
2
′
= 2(
x
3
)
′
−
3(sin
x
)
′
+
x
−
2
3
′
=
= 6
x
2
−
3 cos
x
−
2
3
x
(
−
2
3
−
1
) = 6
x
2
−
3 cos
x
−
2
3
x
−
5
3
= 6
x
2
−
3 cos
x
−
2
3
1
3
√
x
5
.
Пример 2.
Найти производную функции
y
=
cos
x
x
2
.
27

---

Используем правило дифференцирования дроби:
y
′
=
cos
x
x
2
′
=
(cos
x
)
′
x
2
−
cos
x
(
x
2
)
′
(
x
2
)
2
=
=
(
−
sin
x
)
x
2
−
(cos
x
)2
x
x
4
=
−
x
sin
x
+ 2 cos
x
x
3
.
Пример 3.
Найти производную функции
y
= sin
x
2
.
Здесь
y
(
x
)
– сложная функция, где внешняя функция
f
(
u
) = sin
u
и внутренняя
u
=
g
(
x
) =
x
2
. По правилу дифференцирования сложной
функции
y
′
= (sin(
x
2
))
′
= (sin
u
)
′
u
·
(
x
2
)
′
x
= cos
u
·
2
x
= 2
x
cos
x
2
.
Пример 4.
Найти производную
y
= arctg
x
3
e
2
x
.
По правилу дифференцирования сложной функции вначале берем
производную от внешней функции (
arctg
u
):
y
′
= arctg(
x
3
e
2
x
)
′
=
1
1 + (
x
3
e
2
x
)
2
·
x
3
e
2
x
′
=
. . .
Далее нам потребуется формула дифференцирования произведения:
. . .
=
1
1 +
x
6
e
4
x
·
(
x
3
)
′
e
2
x
+
x
3
e
2
x
′
=
. . .
Функция
e
2
x
также является сложной, поэтому
. . .
=
3
x
2
e
2
x
+
x
3
e
2
x
(2
x
)
′
1 +
x
6
e
4
x
=
3
x
2
e
2
x
+ 2
x
3
e
2
x
1 +
x
6
e
4
x
=
(3 + 2
x
)
x
2
e
2
x
1 +
x
6
e
4
x
.
8.3. Задания к теме.
Найти производные функций:
1.
y
=
1
x
+
1
x
2
+
1
x
3
.
2.
y
= 6
3
√
x
−
4
4
√
x.
3.
y
=
x
2
cos
x.
4.
y
=
cos
x
x
2
.
5.
y
=
x
2
2
x
.
6.
y
= (1
−
5
x
)
4
.
7.
y
=
p
1
−
x
2
.
8.
y
=
√
cos 4
x.
9.
y
= arcsin
√
1
−
4
x.
28

---

10.
y
= ln
√
x
+
√
x
+ 1
.
11.
y
= ln
r
1 + 2
x
1
−
2
x
.
12.
y
=
x
arctg
x
a
−
a
2
ln(
x
2
+
a
2
)
.
13.
y
= arctg
e
2
x
+ln
r
e
2
x
+ 1
e
2
x
−
1
.
14.
y
=
x
arccos
x
−
p
1
−
x
2
.
15.
y
=
x
2
p
1
−
x
2
.
16.
y
=
√
4
x
+ 1
x
2
.
17.
y
=
√
xe
√
x
.
18.
y
= ln(
e
2
x
+
p
e
4
x
+ 1)
.
19.
y
= arccos
√
1
−
2
x
+
p
2
x
−
4
x
2
.
Ответы: 1.
−
x
2
+2
x
+3
x
4
.
2.
2
3
√
x
2
−
1
4
√
x
3
.
3.
x
(2 cos
x
−
x
sin
x
)
.
4.
2 cos
x
−
x
sin
x
x
3
.
5.
2
x
(2
x
+
x
2
ln
x
)
.
6.
−
20(1
−
5
x
)
3
.
7.
−
x
√
1
−
x
2
. 8.
−
−
2 tg 4
x
√
cos 4
x
.
9.
−
1
√
x
−
4
x
2
.
10.
1
2
√
x
2
+1
.
11.
2
1
−
4
x
2
.
12.
arctg
x
a
.
13.
4
e
2
x
1
−
e
8
x
.
14.
arccos
x
.
15.
x
(2
−
3
x
2
)
√
1
−
x
2
.
16.
−
2(3
x
+1)
x
3
√
4
x
+1
.
17.
e
√
x
2
1 +
1
√
x
.
18.
2
e
2
x
√
e
4
x
+1
.
19.
q
2
x
−
4
.