Донишгоҳи давлатии Хуҷанд ба номи академик Б. Fафуров

Боби II. Ифода кардани ададҳои ирратсионалӣ дар касрҳои занҷирӣ.

1. 
   Касрҳои занҷирии беохир ва хосиятҳои касрҳои мувофиқ
   

Ду пайдарпаии ададҳои бутуни беохирро гирифта
,, ...
,, ...
Ифодаро дар намуд зерин менависем

бо ҳамин тавр пайваст кардани элементҳои ин ду пайдарпаӣ бо тартиби нишондодашуда бо аломатҳои "+" ва "-"мешавад. Мо то ба ҳол наметавонем ифодаи (1) -ро натиҷаи қатори зарб ва тақсим шуморем, зеро дар он муайян карда нашудааст, ки ба ҳар кадом чӣ зарб карда мешавад ва ададҳо ба тақсим карда мешаванд. Ифодаи (1) –ро касри занҷирии беохир меномем.
Ифодаи (1)-ро ба ҳисоб грифта бо ишора мекунем ва касри мувофиқи тартиби -уми он дар намуди зерин мешавад

дар ин ҷо + ва - аломатҳои ҷамъ ва тақсимкунӣ мебошанд, бинобар ин, ин дилхоҳ адади ирратсионалӣ мебошад.
Агар худуд дошта бошад , ҳангоми афзоиши n яъне, бошад дар инҷо ягон адади ҳақиқӣ бошад, пас касри занҷирӣ (1) наздикшаванда ва қимати касрҳои занҷирии беохири (1) номида мешавад.
Агар ҳамаи ва ҳангоми будан ҳамаи мешавад, барои ҳамин ифодаи (1)-ро касри занҷирии беохир сода ё касри занҷирии беохир номида шавад.
Таъриф 1. Касри занҷирии беохир гуфта ифодаи намуди зеринро меномем, ки

дар ин ҷо адади бутун аст ва ҳамаи дигари ададҳои натуралӣ мебошанд, яъне барои n = 1, 2, мебошанд,
Пас аз он, мо ифодаи (2) -ро дар намуди зерин менависем

Таърифи 2. Касри мувофиқи барои касри занҷирии беохири (2) ин касри занҷирии охирнок номеда мешавад

Хосиятҳои касрҳои мувофиқ, сурат ва махраҷи онҳо, ки дар теоремаҳо таҳия шудаанд (ки дар поён оварда шудаанд) барои касрҳои занҷирии беохир низ дуруст мебошад.
Дар ҳақиқат, новобаста аз чӣ гуна калон набудани ва мувофиқ касрҳои ба касри беохири (2) бо ҳамроҳи касрҳои мувофиқ касри занҷирии охирнок мебошанд:

пас исботи теоремаҳо барои ҳама дурустанд. Барои он, ки хосиятҳои зерин аз ҳама муҳиманд.
Теоремаи 1. Агар ,, элементҳои касри занҷирии (2) бошанд, пас пайдарпайии ададҳои ва бо шартҳои такроршаванда муайян карда мешавад:
ҳангоми (4)
ва бо шароити аввала
, , , (5)
Он хосият дорад, ки барои ҳама таносуби ба касри мувофиқ тартиби -уми (3) баробар аст.
Таъриф 2. Суратҳо ва махраҷҳое, ки барои касрҳои (3) то касрҳои беохир (2) аз рӯи шартҳои (4) ва (5) мувофиқанд, қиматҳои номеда мешавад.
Теоремаи 2. Барои n = 1, 2,…
(6)
Теоремаи 3. Сурат ва махраҷи ҳар гуна касрҳои мувофиқ ба касрҳои занҷирии беохири (2) ададҳои сода мебошанд.
Теоремаи 4. Барои ҳама

Теоремаи 5. Ҳангоми зиёд шудани қимати махраҷи касрҳои занҷирии беохир аз сар карда монотон афзуншаванда мебошад.
Исбот. Ҳақиқатан, азбаски дар касри занҷирии беохири барои ҳамаи, пас мувофиқи шарти дар боло овардашуда, натиҷаи теоремаи 5 ба ҳама маҷмӯи қиматҳо паҳн мешавад, яъне
Азбаски ҳама адади бутун мебошанд, пас ҳангоми будан ҳар як ҳадди аққал як адади пештара зиёдтар аст, яъне:
Теоремаи 6. Модули масофаҳои байни касрҳои мувофиқи ҳамсоя бо қимати адад монотон камшаванда ба сифр майл мекунанд.
Исбот. Аз нобаробарии исботшуда

ва аз он вақт, мувофиқи теоремаи қайдшуда, он гоҳ

мешавад.
Таърифи 3. Бигзор

ҳангоми
Таърифи 4. Ҳангоми паҳнкунии адади ҳақиқии дар касри занҷирӣ ифодакунии номеда мешавад ва намуди зеринро дорад:

Дар ин ҷо пайдарпайии охирнок ё беохирии бутун мавҷуданд, ки ҳангоми ҳамаи аст , ё ки албатта элементи охирони ҷудошаванда мешавад.

2. 
   Таъриф ва исботи наздикшавии касрҳои занҷирии беохир барои ҳар гуна ададҳои ирратсионалӣ.
   

Касри беохири (2)

наздикшаванда номида мешавад, агар лимити мувофиқи он вуҷуд дошта бошад, яъне:

Таърифи 5. Қиматҳои касри занҷирии беохир наздикшавандаи (2) худуди он касирҳои мувофиқи он мебошад, яъне адади чунин аст

Агар қимати (2) баробари бошад, мо онро дар намуди зерини менависем:

Касрҳои занҷирии охирнок ва беохир дар якҷоягӣ дар мафҳуми умуми касри занҷирӣ номеда мешавад мафҳуми ин ифода намуди зеринро дорад

гарчанде
Дар он ҷое, ки пайдарпаии ададҳои бутуни метавонад пайдарпаии охирнок ё беохир бошанд, вобаста ба дар ҳолати пайдарпайии охирнок аъзои охирин бошад.
Теоремаи 7. Касрҳои мувофиқ бо ададҳои ҷуфт ва тоқ системаи нӯгҳои интегралҳои бо ҳамдигар ҷойгиршударо ташкил медиҳанд.
Исбот. Дар теоремаи 5 муқаррар карда шуд, ки ҳатто касрҳои мувофиқ ҷуфт пайдарпайии афзуншавандаро ташкил медиҳанд ва касрҳои мувофиқи тоқ пайдарпаии камшавандаро ташкил медиҳанд ва аз ин сабаб, ҳар як касри ҷуфт аз ҳар як касри тоқ хурд мебошад.
Пас, ин барои дилхоҳ адади касри мувофи дуруст мебошад, яъне

Исбот мекунем, ки касрҳои занҷирӣ бо элементҳои , ки онҳоро дар боло дида баромадем, ҳамавақт наздикшаванда мешаванд ва аз ин рӯ, қимати муайян доранд.
Теоремаи 8. Ҳар як касри занҷирии беохир бо ҳам наздик мешавад. Исбот. Бигзор касри занҷирии ихтиёрӣ дода шуда бошад:

дар ин ҷо ҳама адади бутун ва барои ҳама
Дар теоремаи дар боло оварда шуда исбот карда шуд, ки касрҳои мувофиқ бо ададҳои ҷуфт ва тоқи тарафҳои чап ва рост системаи интервалҳои ҷойгирбуда мебошанд. Мувофиқи теоремаи 6, маълум аст

пас дарозии фосилаҳо инҳоянд:

бо афзоиши ба сифр майл мекунанд.
Мувофиқи теоремаи маъруфи таҳлили математикӣ, охирҳои чап ва рости системаи фосилаҳои бо ҳамдигар дохилӣ, ки дарозии онҳо ба сифр майл мекунад, ҳудуди умумӣ доранд, ки ин баъзе ададҳои ҳақиқӣ мебошад, яъне

Шарҳ. Аз исботҳои дар боло овардашуда бевосита дида мешавад, ки қимати касри занҷирии беохир аз ҳар як касри ҷуфти мувофиқ калон ва аз ҳар як касри мувофиқи тоқ хурд аст, бинобар ин

Барои ҳолате, ки касри занҷирӣ охирнок аст, нобаробарии (7) низ дуруст аст, аммо ба касри охирини мувофиқ рост меояд.
Агар адади бутун, ва натуралӣ бошад, он гоҳ ифодакунии ягона мавҷуд мебошад, ки
, (1)
дар ин ҷо -қисми нопурра ва – бақия аз тақсими ҳосилшудаи формулаи (1) нисбати баробарқувва мебошад ба
(2)