Djurakulova Sevara Matematik induksiya metodini qomlashga oid misollar yechish

A(n) mulohazaning to’g’riligini barcha n lar uchun bevosita tekshirib ko’- rishning iloji bo’lmasin.

A(n) mulohaza, matematik intuksiya prinsipiga asosan quyidagicha isbotlanadi

Bu tasdiqning to’g’riligi, asosan, n=1 uchun tekshiriladi. So’ngra aytilgan tasdiqni n=k uchun rost bo’lsin deb faraz qilib, uning rostligi n=k+1 uchun isbotlanadi. Shundan so’ng A(n) tasdiq barcha n (n€N) lar uchun isbotlangan hisoblanadi.

Bularga asosan, agar A(n) tasdiq n=1da rost bo’lsa, u navbatdagi n=1+1=2

son uchun ham rost bo’ladi. Tasdiqning n=2 uchun rostligidan uning n=2+1=3 uchun rostligi kelib chiqadi. Bundan esa tasdiqning, o’z navbati- tural songacha yetib boramiz. Demak, A(n) tasdiq ixtiyoriy n uchun o’rinli- dir.

Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinspni ifodalaylik:

1. 
   n=1 da A(n) mulohaza rostligi tekshiriladi;
   
2. 
   n=k daA(n) mulohaza rost bo’lsin deb faraz. N=n+1 uchun A(n)
   

mulohazaning rostligi, ya’ni A(k) A(k+1) isbotlanadi. Shundan so’ng,

A(n) mulohoza barcha n lar uchun rost deb xulosa qilinadi.

Matematik indukssiya pirinspiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi. Matematik induksiya metodiga asoslanib biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko’rsatilgan 1 va 2 punktlarning har birini tek-shirish juda muhimdir. Agar ulardan birortasini hisobga olmasak, chiqarilgan xulosa to’g’ri bo’lmay qolishi mumkin. Masalan, yuqorida ko’rsatib o’yilgan 6-9 misollarda induksiya pirnsipining faqat 1 qismiga asoslanib xulosalar noto’g’ri ekani aniqlandi. Xuddi shuningdek, 1 punktni isbotlamasdan, faqat 2 punktga asoslanib xulosa chiqarsak, chiqarilgan xulosa xato bo’lishi mumkin.

1. 
   Misol. Har qanday natural son o’zidan keyin keluvchi natural songa teng.
   

Isbot.

(1)

bo’lsin deb faraz qilaylik. U holda

(2)

hosil bo’ladi. Haqiqatdan ham, (1) ning ikkala tomoniga 1 ni qo’shsak, (2) kelib chiqadi. Bundan, agar tasdiq n=k uchun rost bo’lsa, u holda n=k+1

uchun ham rost ekani kelib chiqadi.

Natija. Barcha natural sonlar o’zaro teng. Natijaning xatoligi o’z-o’zidan ravshan. Bu xato qayerdan kelib chiqdi.

Xato shundan iboratki, matematik induksiya prinsipini qo’llash uchun zarur bo’lgan 1 punkt isbotlanmadi, faqat 2 punkt isbotlandi, xolos.

1 punkt induksiyaning asosi deyiladi. 2 punktda esa induksiya asosi istalgan n natural son uchun kengaytiriladi.

Agar 1 punkt tekshirilmay, faqat 2 punktning o’zi isbotlansa, u holda induksiya bajarish uchun asos yaratilmaydi, shu sababli isbotlangan narsa-ning ma’nosi bo’lmaydi, chunki kengaytirilishi kerak bo’lgan bazaning o’zi yo’q.

Agar 2 punkt isbotlanmay faqat 1 punktning o’zigina isbotlansa u holda induksiya bajarish uchun baza yaratilgan bo’lsada, bu bazani istalgan n son uchun kengaytirish qoidasi yo’q. Matematik induksiya metodi bilan isbotlash jarayonida quyidagi holler bo’lishi mumkin.

Induktiv fikr yuritib kuzatishlarga asoslangan holdabayon etilgan A(n) mu-lohaza rost bo’lsa, matematik induksiya metodi yordamida uni isbotlash mumkin. Agar induksiya yordamida bayon etilgan A(n) mulohaza hoto’g’ri bo’lsa uning xatoligini 2 punktni isbotlash jarayonida osongina aniqlash mumkin.

Matematik induksiya metodini misollarda tushuntiramiz.

Berilgan. Kitob javonida kitoblar quidagicha joylashtirilgan: 1) eng

chekka qismida joylashgan kitob qizil muqovada. 2) Qizil muqovali kitobning o’ng

tomonida qizil muqovali kitob joylashgan.

Xulosa. Kitob javonida joylashgan barcha kitoblar qizil muqovada.

“Javonda barcha kitoblar qizil muqovada” xulosasi haqiqatdan ham to’g’ri

hosoblanadi. Lekin, agar eng chekkadagi kitob qizil muqovaliligi ma’lum bo’lsa,

“javondagi barcha kitoblar qizil muqovali “ degan xulosa chiqarish uchun etarli

darajada emas.

Qizil muqovali kitobning o’ng tomonida joylashgan kitob qizil muqovali

degan xulosa chiqarishga etarli emas (Chap tomondagi birinchi kitob yashil

muqovada ham bo’lishi mumkin).

Shuning uchun ,xulosa to’g’ri bo’lishi uchun ikkala shart ham bajarilishi

lozim. Matematika ensiklopediyasida quyidagi tushunchalar berilgan.

Matematik induksiya – matematik induksiya prinsipiga asoslangan

matematik tasdiqni isbotlovchi metod:

Agar A(1) isbotlangan bo’lsa, x natural parametrga bo’g’liq A(x) tasdiq

isbotlangan deb hisoblanadi va ixtiyoriy n natural son uchun A (n) to’g’ri deb faraz

qilinsa, n+1 uchun A (n+1) to’g’ri hisoblanadi.