Djurakulova Sevara Matematik induksiya metodini qomlashga oid misollar yechish

Djurakulova Sevara

Matematik induksiya metodini qomlashga oid misollar yechish

Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman xatto bir-biridan juda olis sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Bu metod orqali ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblash mumkin.

Demak turli hil ayniyatlarni isbotlashda matematik induksiya metodini qo’llab isbotlangan misollar ko’rib chiqaylik.

1. 
   misol.
   

Matematik induksiya metodidan foydalanib ushbu ayniyatni isbotlash kerak bo’lsin.

1+2+3+…+n=

Bu yerda va bundan keyin misoldagi tasdiqni A(n) deb belgilaymiz.

1. 
   n=1 uchun 1= demak A(1) to’g’ri
   
2. 
   n=k uchun 1+2+3+…+k= deb faraz qilib,
   

n=k+1uchun 1+2+3+…+k+(k+1)= ni isbot qilamiz.

1+2+3+…+k+(k+1)=

Demak, 1+2+3+…+n= dan iborat tasdiq har qanday n natural son uchun to’g’ri deb hulosa chiqaramiz.

2-misol. (Qiziqarli masala). Bir boy dehqonning otini sotib olmoqchi bo’ldi, lekin otning 1000 so’mlik bohosi unga ko’p ko’rindi. Shunda dehqon boyga otning taqqalaridagi mixlarni arzon bahoga sotib olishni, otni esa sovg’a sifatida olib ketishni taklif qildi va mixlarning birinchisiga 1 tiyin, ikkinchisiga 2 tiyin, uchinchisiga 4 tiyin, to’rtinchisiga 8 tiyin va hakazo, har bir keying mixga avvalgisidan ikki baravar ko’p to’lashni so’radi. Boy bu shartga rozi bo’ldi. Har bir taqada 6 ta mix bor. Boy otni necha so’mga sotib olgan?

Yechilishi.

Boy sotib olishi kerak bo’lgan mixlar 24 ta. Mixlarga to’langan pullarni yo-zaylik:

Bu sonlarni quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu qatorni ko’zdan kechirsak k mixga tiyin to’laganligini sezamiz. Barcha mixga to’lgan pul:

Ushbu yig’indini hisoblaylik:

Bugeometrikprogressiyantahadiningyig’ondisinitopishformulasigaaso-santopsakhambo’ladi, lekinbizyuqoridagidekinduktivyo’lbilangipotezatuzibkeyinuniisbotlaymiz.

Nga 1,2,3,4,5 qiymatlarnibersak,

Hosil bo’lgan sonlarni 2 ning darajalari bo’yicha yozaylik:

Bulardan ushbu gipotezani aytish mumkin:

(1)

1. gipoteza to’g’ri.

2. o’rinli bo’lsin deb, da bo’lishini isbotlaylik.

Haqiqtdan ham,

tenglik hosil bo’ladi.

Demak (1) o’rinli. Buni ot savdosiga qo’llasak, tiyin yoki 167772 so’m 15 tiyin yani ot bahosidan 150 martadan ham ko’p pul to’lagan.

1.Isbot kilinayotgan tasdik n=1 uchun tekshiriladi. To’g’riligiga ishonch hosil qilingandan so’ng 2 chi etapga o’tiladi.

2.Shu tasdiqni n=k uchun to’g’ri deb olib, 3 chi etapga o’tiladi.

3.Tasdiqn=k+1 uchun to’g’ri ekanligi isbot qilinadi.

Bu metodning qo’llanishiga doir misol qaraymiz.

3-misol.Birinchi n ta toq natural sonlarning yig’indisini toping.

Yechilishi. Izlanayotgan yig’indi bo’lsin:

ga teng ketma-ket 1,2,3,4,… qiymatlar berib, ning mos qiymatlarini topaylik:

Hosil bo’lgan sonlarni kuzatib biror qonuniyat topishga harakat qilaylik. Ularni quyidagicha yozish mumkinligini ko’rish mumkin.

Hosil bo’lgan sonlarga qarab ushbu gipotezani aytish mumkin: birinchi n ta toq natural sonlar yig’indisa uchun

bu gipotezani isbotlaylik:

1. da gipoteza to’gri.

2. uchun o’rinli bo’lsin deb da bo’lishini ko’rsatamiz.

Demak, gipoteza o’rinli.

Matematik induksiya yordamida ayniyatlar va tengsizliklarni ham isbotlash mumkin: A(n)=V(n)ayniyatniisbotlashuchunoldinA(1)=V(1)ekanigaishonchhosilqilish , so’ngA(n+1)-A(n)=B(n+1)-B(n)yeki ayniyatniisbotqilishkerakbo’ladivaxulosachiqariladi.

Demak, matematik induksiya metodi orqali biz ayniyatlarni isbotlashimiz, yig’indilarni hisoblashimiz va ko’paytmalarni hisoblashimiz mumkin ekan.
Matematik induksiya metodi haqida ma’lumotlar.

Induktiv usul mаtemаtikаdа qаdim zаmonlаrdаn qo‘llаnilаdi. Аk-sаr hollаrdа nаtijа xаto bo‘lib chiqаdi. XVII аsrning o‘rtаlаrigа kelib, bundаy noto‘g‘ri mulohаzаlаr ko‘plаb yig‘ilib qolаdi. Ilmiy аsoslаngаn usullаrni qo‘llаsh tаlаbi borgаn sаri oshib borаr edi. Bundаy usul ishlаb chiqildi (Pаskаl 1623-1662, Dekаrt, Yakov Bernulli 1654-1705) Bu usul mаtemаtik induksiya usuli deyilаdi.

Yuqoridagi misollarni tahlil qilish natijasida ushbu savol tug’uladi. Bir qan- cha xususiy hollarda to’g’ri bo’lgan biror tasdiq berilgan bo’lsin. Bu tasdiq- ning to’g’riligini ko’rsatuvchi barcha cheksiz ko’p xususiy hollarni ko’rib chiqish inson qo’lidan kelmaydi (barcha natural sonlar uchun chiqarilgan tasdiqlar shular jumlasidandir). Xususiy arame cheksiz ko’p bo’lgani uchun to’la induksiyani qo’llash imkoniyatiga ega emasmiz, xususiy hollarga asosla- nib chiqarilgan tasdiq esa xato bo’lishi mumkin. Bu savolga, ba’zi hollarda, matematik induksiya metodi deb ataluvchi alohida mulohaza yordamida ja- vob beriladi.

Induksiya yordamida biror A(n) gigoteza bayon etilgan bo’lib, bu muloha- zaning ixtiyoriy n natural son uchun rostligini isbotlash kerak bo’lsin hamda