Джордж Грин


Формула Грина в векторной форме



Download 0,59 Mb.
bet3/4
Sana23.02.2022
Hajmi0,59 Mb.
#166151
TuriАнализ
1   2   3   4
Bog'liq
Murodjonova M DIFF.TENGLAMA
сиртки учун топшириклар менежмент, falsafadan3 jadval, In Surkhandarya, In Surkhandarya, In Surkhandarya, oqituvchi nutqi madaniyati, ки режа, Қурилиш майдонида грунтларни мустахкамлаш, OAT fanidan mustaqil talim uchun mavzular royxati, 2 5321451620611917232, bt maqola, sdeff, 595d8421e6513fac327059cdaa8b0878, for A group 2, for A group 2
2. Формула Грина в векторной форме
Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.
Пусть векторное поле описывается функцией

Ротором или вихрем векторного поля  называется вектор, обозначаемый или  и равный





Формула Грина в векторной форме записывается в виде





Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. 


3. Вывод формулы Грина из формулы Стокса


Формула Кельвина — Стокса
Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3),  — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:



или в координатной записи:






Вывод из теоремы Стокса:


Рассмотрим дифференциальную форму  .
Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы  :



Отсюда, используя теорему Стокса:






Вывод формулы Грина из формулы Стокса:


Определяя дифференциальную форму  , найдём её внешний дифференциал:



Принимая во внимание, что




и  :

Отсюда используя теорему Стокса:







4. Применение формулы Грина
Задача 1.
Применяя формулу Грина, вычислить следующий криволинейный интеграл:



где С – пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область D = {(x,y) 0<x<π, 0<yx.}


Решение:
По формуле Грина, имею:



Задача 2.
На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы

где AmB – отрезок прямой, соединяющий точки А=(1, 1) и В=(2, 6), AnB – дуга параболы с вертикальной осью, проходящей через те же точки А, В и начало координат? формула грин криволинейный интеграл
Решение:
Уравнение параболы, проходящей через начало координат и точки А, В, имеет вид а разность I2 ̴ I1 является криволинейным интегралом по замкнутому контуру AnBmA, ограничивающему область и пробегаемому в положительном направлении, в силу чего можем применить формулу Грина:



Следовательно, I1 – I2=2.


Задача 3.
Вычислить криволинейный интеграл



где AmO – верхняя полуокружность, заданная уравнением x2+y2=ax, пробегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).


Решение:
На сегменте [0, а] подынтегральное выражение равно нулю, поэтому интеграл кривой AmO равен интегралу по замкнутому контуру AmOА, состоящему из кривой AmO и сегмента [0, а], ограничивающему область D =


в силу чего могу применить формулу Грина:



Задача 4.
Вычислить криволинейный интеграл



где φ(у) и φ́(у) – непрерывные функции и AmB – произвольный путь, соединяющий точки А(х1, у1) и В(х2, у2), но ограничивающий вместе с отрезком АВ площадь AmBA фигуру D, площадь которой равна данной величине Р.


Решение:
Интеграл по кривой AmB представлю в виде суммы интегралов по замкнутому контуру AmBA и по отрезку АВ.




Интеграл I1 вычислим, применив формулу Грина:



Для вычисления интеграла I2 преобразуем подынтегральное выражение к виду



где du – полный дифференциал некоторой функции. Следовательно,



где первый интеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А и В. Таким образом,

На отрезке АВ выполняется равенство

в силу чего имеем

Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдём:

Задача 5.
Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции так, чтобы криволинейный интеграл

для любого замкнутого контура γ не зависит от постоянных α и β.
Решение:
Если функции P и Q удовлетворяют поставленному условию, то должно выполнятся равенство

для любого замкнутого контура γ, в силу чего имеем
где

Для того, чтобы криволинейный интеграл I1 по любому замкнутому контуру γ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром, и на самом контуре выполнялось равенство (которое следует из формулы Грина). Обозначив получим написанное условие в виде



откуда имеем равенство



Левая часть этого равенства не зависит от ζ и η, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно,



Из условия получаем равенство справедливо лишь в том случае, когда



дважды непрерывно дифференцируемые функции. Окончательно находим:

Задача 6.
Вычислить

где γ – простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.


Решение:
Если контур γ не окружает начало координат, то применив формулу Грина, получу:

Если контур γ окружает начало координат, то применять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна. В этом случае будем вычислять интеграл I непосредственно.
Обозначу через w дифференциальное выражение под знаком интеграла I. Покажем, что интеграл

не зависит от выбора кривой γ, окружающий начало координат.
Пусть γ1 и γ2 – произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие или кусочно-гладкие контуры, окружающие начало координат и ограничивающие простую область При положительной ориентации границы области D направления обхода кривых γ1 и γ2 будут противоположны

Двухсвязная простая область D не содержит особой точки подынтегрального выражения w, поэтому, согласно формуле Грина, имею:

откуда следует равенство

показывающее, что интеграл I не зависит от выбора замкнутой кривой γ, окружающей начало координат. Взяв окружность
получим:



Задача 7.
Найти с помощью формулы Грина площадь, ограниченную эллипсом

Решение:
Воспользуемся формулой (следствие из формулы Грина)



и стандартной параметризацией эллипса


Г =

Задача 8.
Вычислить криволинейный интеграл

Где Г – верхняя полуокружность


Решение:
Обозначим дополним контур Г до замкнутого контура L отреком оси Ох, соединяющим концы полуокружности О(0, 0) и А(а, 0). Тогда



Задача 9.
Используя формулу Грина, вычислить интеграл  . Кривая C представляет собой окружность  , обход которой производится против часовой стрелки.
Решение.

Запишем компоненты векторного поля и их производные:


Тогда

где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:





Задача 10.
Используя формулу Грина, найти интеграл  , где кривая C представляет собой эллипс 
Решение.

Применим формулу Грина

Очевидно, здесь

Следовательно,

Поскольку двойной интеграл  численно равен площади эллипса  , то интеграл равен





Задача 11.
Вычислить интеграл  с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность  .
Решение.





Компоненты векторного поля и их частные производные равны



Тогда по формуле Грина получаем

Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.
Здесь

Таким образом, интеграл равен




Download 0,59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
axborot texnologiyalari
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
guruh talabasi
O’zbekiston respublikasi
nomidagi toshkent
o’rta maxsus
texnologiyalari universiteti
toshkent axborot
davlat pedagogika
xorazmiy nomidagi
rivojlantirish vazirligi
pedagogika instituti
Ўзбекистон республикаси
tashkil etish
haqida tushuncha
vazirligi muhammad
таълим вазирлиги
O'zbekiston respublikasi
toshkent davlat
respublikasi axborot
махсус таълим
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
vazirligi toshkent
saqlash vazirligi
fanidan tayyorlagan
bilan ishlash
Toshkent davlat
Ishdan maqsad
fanidan mustaqil
sog'liqni saqlash
uzbekistan coronavirus
respublikasi sog'liqni
coronavirus covid
koronavirus covid
vazirligi koronavirus
qarshi emlanganlik
risida sertifikat
covid vaccination
sertifikat ministry
vaccination certificate
o’rta ta’lim
matematika fakulteti
haqida umumiy
fanlar fakulteti
pedagogika universiteti
ishlab chiqarish
moliya instituti
fanining predmeti