Джордж Грин

2. Формула Грина в векторной форме
Формулу Грина можно записать также в векторной форме. Для этого введем понятия ротора векторного поля.
Пусть векторное поле описывается функцией

Ротором или вихрем векторного поля  называется вектор, обозначаемый или  и равный





Формула Грина в векторной форме записывается в виде





Заметим, что формула Грина вытекает из "теоремы Стокса" при переходе от трехмерного случая к случаю двух координат. 


3. Вывод формулы Грина из формулы Стокса


Формула Кельвина — Стокса
Пусть Σ — кусочно-гладкая поверхность (p = 2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n = 3),  — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность Σ, ограниченную контуром:

или в координатной записи:

Вывод из теоремы Стокса:

Рассмотрим дифференциальную форму  .
Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы  :

Отсюда, используя теорему Стокса:

Вывод формулы Грина из формулы Стокса:

Определяя дифференциальную форму  , найдём её внешний дифференциал:

Принимая во внимание, что

и  :

Отсюда используя теорему Стокса:

4. Применение формулы Грина
Задача 1.
Применяя формулу Грина, вычислить следующий криволинейный интеграл:

где С – пробегаемый в положительном направлении контур, ограничивающий область D = {(x,y) 0<x<π, 0<yx.}

Решение:
По формуле Грина, имею:



Задача 2.
На сколько отличаются друг от друга криволинейные интегралы

где AmB – отрезок прямой, соединяющий точки А=(1, 1) и В=(2, 6), AnB – дуга параболы с вертикальной осью, проходящей через те же точки А, В и начало координат? формула грин криволинейный интеграл
Решение:
Уравнение параболы, проходящей через начало координат и точки А, В, имеет вид а разность I₂ ̴ I₁ является криволинейным интегралом по замкнутому контуру AnBmA, ограничивающему область и пробегаемому в положительном направлении, в силу чего можем применить формулу Грина:

Следовательно, I₁ – I₂=2.

Задача 3.
Вычислить криволинейный интеграл

где AmO – верхняя полуокружность, заданная уравнением x2+y2=ax, пробегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).

Решение:
На сегменте [0, а] подынтегральное выражение равно нулю, поэтому интеграл кривой AmO равен интегралу по замкнутому контуру AmOА, состоящему из кривой AmO и сегмента [0, а], ограничивающему область D =


в силу чего могу применить формулу Грина:



Задача 4.
Вычислить криволинейный интеграл

где φ(у) и φ́(у) – непрерывные функции и AmB – произвольный путь, соединяющий точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂), но ограничивающий вместе с отрезком АВ площадь AmBA фигуру D, площадь которой равна данной величине Р.

Решение:
Интеграл по кривой AmB представлю в виде суммы интегралов по замкнутому контуру AmBA и по отрезку АВ.

Интеграл I₁ вычислим, применив формулу Грина:

Для вычисления интеграла I₂ преобразуем подынтегральное выражение к виду

где du – полный дифференциал некоторой функции. Следовательно,

где первый интеграл в правой части этого равенства не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точки А и В. Таким образом,

На отрезке АВ выполняется равенство

в силу чего имеем

Складывая полученные значения интегралов, окончательно найдём:

Задача 5.
Определить две дважды непрерывно дифференцируемые функции так, чтобы криволинейный интеграл

для любого замкнутого контура γ не зависит от постоянных α и β.
Решение:
Если функции P и Q удовлетворяют поставленному условию, то должно выполнятся равенство

для любого замкнутого контура γ, в силу чего имеем
где

Для того, чтобы криволинейный интеграл I₁ по любому замкнутому контуру γ был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы в односвязной области, ограниченной этим контуром, и на самом контуре выполнялось равенство (которое следует из формулы Грина). Обозначив получим написанное условие в виде



откуда имеем равенство

Левая часть этого равенства не зависит от ζ и η, поскольку правая его часть зависит только от х и у, следовательно,

Из условия получаем равенство справедливо лишь в том случае, когда



дважды непрерывно дифференцируемые функции. Окончательно находим:

Задача 6.
Вычислить

где γ – простой замкнутый контур, не проходящий через начало координат, пробегаемый в положительном направлении.


Решение:
Если контур γ не окружает начало координат, то применив формулу Грина, получу:

Если контур γ окружает начало координат, то применять формулу Грина нельзя, поскольку область D в этом случае неодносвязна. В этом случае будем вычислять интеграл I непосредственно.
Обозначу через w дифференциальное выражение под знаком интеграла I. Покажем, что интеграл

не зависит от выбора кривой γ, окружающий начало координат.
Пусть γ₁ и γ₂ – произвольные непересекающиеся замкнутые гладкие или кусочно-гладкие контуры, окружающие начало координат и ограничивающие простую область При положительной ориентации границы области D направления обхода кривых γ₁ и γ₂ будут противоположны

Двухсвязная простая область D не содержит особой точки подынтегрального выражения w, поэтому, согласно формуле Грина, имею:

откуда следует равенство

показывающее, что интеграл I не зависит от выбора замкнутой кривой γ, окружающей начало координат. Взяв окружность
получим:



Задача 7.
Найти с помощью формулы Грина площадь, ограниченную эллипсом

Решение:
Воспользуемся формулой (следствие из формулы Грина)

и стандартной параметризацией эллипса

Г =

Задача 8.
Вычислить криволинейный интеграл

Где Г – верхняя полуокружность


Решение:
Обозначим дополним контур Г до замкнутого контура L отреком оси Ох, соединяющим концы полуокружности О(0, 0) и А(а, 0). Тогда



Задача 9.
Используя формулу Грина, вычислить интеграл  . Кривая C представляет собой окружность  , обход которой производится против часовой стрелки.
Решение.

Запишем компоненты векторного поля и их производные:


Тогда

где R − круг радиуса a с центром в начале координат. Переходя к полярным координатам, находим искомый интеграл:

Задача 10.
Используя формулу Грина, найти интеграл  , где кривая C представляет собой эллипс 
Решение.

Применим формулу Грина

Очевидно, здесь

Следовательно,

Поскольку двойной интеграл  численно равен площади эллипса  , то интеграл равен





Задача 11.
Вычислить интеграл  с помощью формулы Грина. Контур интегрирования C представляет собой окружность  .
Решение.





Компоненты векторного поля и их частные производные равны



Тогда по формуле Грина получаем

Для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам.
Здесь

Таким образом, интеграл равен