Джордж Грин

1. Формула Грина и её доказательство


Определение 1. Ориентация контура  называется положительной, если при обходе (соответствующего возрастанию параметра) контура  , область  остается слева (такой обход обычно называется обходом контура против часовой стрелки), в противном случае - отрицательным.
Будем обозначать положительно ориентированный контур  ⁺, а отрицательно ориентированный –  ^-.
Формулу Грина докажем для простых областей  .
Определение 2. Плоская область G называется простой относительно оси Оу, если её граница Г состоит из графиков двух непрерывных на функций ,  и, может быть, двух отрезков прямых  .





Формулировка:
Пусть C — положительно ориентированная кусочно-гладкая замкнутая кривая на плоскости, а D — область, ограниченная кривой C. Если функции P = P(x,y), Q = Q(x,y) определены в области D и имеют непрерывные частные производные  ,  , то

На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая С замкнута.

Доказательство:
Формулу Грина докажем для простых областей D.
Пусть область D — криволинейная трапеция (область, цилиндрическая в направлении OY):

Для кривой C, ограничивающей область D зададим направление обхода по часовой стрелке.

Тогда:

Заметим, что оба полученных интеграла можно заменить криволинейными интегралами:

Интеграл по C₁ берётся со знаком "минус", так как согласно ориентации контура C направление обхода данной части — от b до a.

Криволинейные интегралы по C₂ и C₄ будут равны нулю, так как  :

Заменим в (1) интегралы согласно (2) и (3), а также прибавим (4) и (5), равные нулю и поэтому не влияющие на значение выражения:

Так как обход по часовой стрелке при правой ориентации плоскости является отрицательным направлением, то сумма интегралов в правой части является криволинейным интегралом по замкнутой кривой C в отрицательном направлении:

Аналогично доказывается формула:

если в качестве области D взять область, правильную в направлении OX.

Складывая (6) и (7), получим:





Если  , то формула Грина принимает вид





где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.