Dissertation: a work Piece bases Approach for Programming Cooperating Industrial Robots

Figure 5.3: Movement of the tool frames relative to movement of the object frame
Equations (5.10), (5.11) and (5.12) represent the geometrical constraints on the body and
consequently on the movement of the manipulators. By di
fferentiating twice w.r.t time,
the expressions for the kinematic constraints (Caccavale & Villani 2000)
˙
θ
i
= ˙θ
o
(5.14)
˙r
i
= ˙r
o
− S(r
θ
o
)˙
θ
i
(5.15)
and
¨
θ
i
= ¨θ
o
(5.16)
¨r
i
= ¨r
o
− S(r
θ
o
)¨
θ
i
− S(r
θ
o
)S(˙
θ
i
)˙
θ
i
(5.17)
where S( · ) is the skew symmetric matrix performing the cross vector multiplication on its
arguments.
5.2.4 Dynamics
In the upcoming section all discussions and mathematical derivations will be conducted
based on non-redundant manipulators with six DOF.
61

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5 Control Architecture
5.2.4.1 Analysis for single manipulator
The dynamic equation of a manipulator in joint space with q
∈ R
6
can be written as follows
(Kurfess 2005)
M(q) ¨q
+ C(q, ˙q)˙q + D˙q + G(q) = τ − J
T
(q)F
(5.18)
where:
M(q)
∈ R
6
×6
is the symmetric positive definite inertia matrix, which also represents the
kinetic energy of the dynamic system in terms of a lagrangian analysis
C(q
, ˙q) ∈ R
6
×6
represents the Coriolis and centrifugal forces
/torques
D(q
, ˙q) ∈ R
6
×6
is a diagonal matrix representing the viscous friction coe
fficients
G(q)
∈ R
6
represents the vector of gravitational forces acting on the manipulator’s
structure
τ ∈ R
6
represents the joint force
/torque applied by the actuators on the manipulator
F
∈ R
6
represents the forces
/torques arising on the TCP
The operational space formulation allows robotic researchers to formulate manipulator
problems in the task space of the robot (Khatib 1987). By using the acceleration at robot’s
TCP as derived in Equation (5.8) and by neglecting the friction components in Equation
(5.18), the following expression can be easily obtained
5
M
a
(x) ¨x
+ C
a
(x
, ˙x) ˙x + G
a
(x)
= τ
a
− F
(5.19)
where:
M
a
= f (M, J) ∈ R
6
×6
is representative of the kinetic pseudo-energy of the dynamic
system in the operational space (Sciavicco & Siciliano 2005)
C
a
= f (M, C, J, ˙q) ∈ R
6
×6
represents the equivalent of the Coriolis and centrifugal
torques
/forces in the operational space
G
a
= f (G, J) ∈ R
6
represents the equivalent of the gravitational forces in the operational
space
τ
a
represents the contribution of the TCP forces due to joint actuation
5
The question of redundant and non-redundant manipulators will not be handled here due to its irrelevancy. Further
information regarding this topic w.r.t. the operational space formulation could be found in (Khatib 1987)
62

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5.2 Modeling
Equation (5.19) not only transfers the analysis and consequently control of a manipulator
from the joint space to the task space but also generates a unique mathematical relationship
between the joint forces and the forces arising on the TCP during contact with the
environment. This relationship could also be obtained using the principles of virtual
work in static analysis (Sciavicco & Siciliano 2005)
τ = J(q)