Dissertation: a work Piece bases Approach for Programming Cooperating Industrial Robots

Figure 5.2: Di
fferent coordinate systems in a cooperative task
In robotics, it is common to use the joint angles and their derivatives as generalized
coordinates. When those sets of coordinates are utilized, the analysis is made in the joint
space. Thus di
fferentiating it from an analysis in one of the latter frames, which could be
collectively termed the task space
4
.
5.2.2 Posture representation
A rigid body is completely described in space by its position and orientation w.r.t a given
reference frame or coordinate system. Since the total DOF of a body in space are equal to
six, therefore the posture x
W
of any rigid body w.r.t to the world frame could be uniquely
described with six mutually exclusive parameters:
x
W
= [ r , θ ]
T
∈ R
6
(5.1)
where:
r ∈ R
3
describes the three translational DOF along the x
, y and z in the world frame
θ ∈ R
3
describes the three rotational DOF around the x
, y and z axis in the world frame
4
Using the term task space to describe world, robot, tool or work-piece frame depends on the specific phase of the
task
57

---

5 Control Architecture
Postures could be described in various mathematical forms. The choice thereof depends
on how convenient this form could derived, manipulated and eventually implemented
in a controller. In this section two forms of posture representation and their notation
will be introduced. Their mathematical properties makes them ideal candidates for the
implementation in the next sections.
Homogeneous transformation notation (HTN)
This type of notation is defined as a matrix that is artificially composed of the translational
vector
r and the rotational vector θ shaped in a rotation matrix R(θ). To convert from one
coordinate system to another or to move a vector around several coordinate systems, one
must simply multiply the 4
× 4 matrices together in the right order. The homogeneous
transformation matrix is mathematically defined as (Spong et al. 2006, P. 61)
Γ
x
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
R(
θ)
r
0
0
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
∈ R
4
×4
(5.2)
where:
R(
θ) ∈ R
3
×3
is the rotation matrix representing the rotation of
x around θ
and is defined as
R(
θ) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
u
x
v
x
w
x
u
y
v
y
w
y
u
z
v
z
u
z
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
(5.3)
Vector quaternion notation (VQN)
This notation is applied here for its simple structure, although it entails more complicated
programming practices for implementation. Its simplicity lies in the fact that it maintains
the posture represented in a vector format albeit with a di
fferent length. The VQN is
mathematically defined as (Khalil & Dombre 2002, P. 53)
x
W
= [ r , ˘θ ]
T
∈ R
7
(5.4)
where:
˘
θ ∈ R
4
is the quaternion representation of the rotation vector 
θ
58

---

5.2 Modeling
5.2.3 Kinematics
5.2.3.1 Analysis for single manipulator
In order to deploy a robot for a given task, it is imperative to either know or to dictate
the path of the robot end-e
ffector or TCP. Thus the goal of the kinematic equations is to
establish the relation between the joint movement and the end-e
ffector movement (Spong
et al
. 2006, P. 76). Since the number of joints of a robot defines its kinematic capability,
any definition starts by listing the joint variables. Essentially, two types of joints exist in
robotics: revolute and prismatic (Sciavicco & Siciliano 2005, P. 39). Revolute joints are
those allowing rotational motion around their axis through geared drives, while prismatic
allow translational motion along their principle axis through linear drives. For an n-drive
robot, the vector of joint variables is written as