Dinamik sistemalar nazariyasiga doir asosiy tushunchalar dinamik sistemalarga misollar

7-MISOL. bo’lsin. Bu akslantirish uchun lar qo’zg’almas nuqtalardir. Oson ko’rish mumkinki, va . Shu sababli, va nuqtalar itaruvchi, va nuqtalar tortuvchi qo’zg’almas nuqtalar bo’ladi. Umumiy holda, bo’lganda, akslantirish aylanada almashuvchi ta tortuvchi va ta itaruvchi qo’zg’almas nuqtalarga ega.
Bu akslantirishning fazaviy portreti (o’tishlari) quyidagi rasmda keltirilgan.

Aylana akslantirishlarining keying muhim sinfi aylanadagi burishlar hisoblanadi.

8-MISOL. Aylanada burish. va bo’lsin. akslantirishning tabiati c ning ratsional va irratsionalligiga muhim bo’glangan. Agar , bu yerda ratsional bo’lsa, u holda va demak aylananing barcha nuqtalari qo’zg’almas, yani aylananing barcha nuqtalari davriy nuqtalar bo’ladi. Agar irratsional bo’lsa, u holda nuqtalar tabiati umuman boshqacha o’ladi. Quyidagi teorema Yakov teoremasi deb ataladi.

1-TEOREMA. Agar irratsional bo’lsa, u holda ning har bir trayektoriyasi aylanada zich bo’ladi.
ISBOT. bo’lsin. nuqta trayektoriyasidagi nuqtalar ustma ust tushmaydi chunki, agar bolsa, u holda deb olish mumkin, va demak bo’ladi. Aylanadagi nuqtalarning ixtiyoriy cheksiz to’plami limitik nuqtaga ega bo’lishi kerak. Shuning uchun, oldindan berilgan ixtiyoriy uchun, shunday va butun sonlar mavjud bo’lib, bo’ladi. deb olsak, u holda bo’ladi.
chiziqli akslantirish bo’lgani uchun u aylanada uzunlikni saqlaydi. U hoda, akslantirish va nuqtalarni tutashtiruvchi yoyni, uzunligi dan kichik bo’lgan va va nuqtalarni tutashtiruvchi yoyga akslantiradi. Bundan kelib chiqadiki, , , ,… nuqtalar aylanani uzunligi uzunligi dan kichik bo’lgan yoylarga bo’ladi(ajratadi). ning ixtiyoriyligidan teoremaning isbotini hosil.