Dinamik sistemalar nazariyasiga doir asosiy tushunchalar dinamik sistemalarga misollar

4-MISOL. bo’lsin. qo’zg’almas nuqta, siljigan (oxir-oqibat) qo’zg’almas nuqta.

5-MISOL. Aylanada akslantirishni qaraylik. bo’lsin. qo’zg’almas nuqta. Agar bo’lsa, u holda va demak, siljigan (oxir-oqibat) qo’zg’almas nuqta. Bundan kelib chiqadiki, siljigan qo’zg’almas nuqtalar to’plami ham aylanada zich bo’ladi.

Shuni ta’kidlash kerakki, agar gomeomorfizm bo’lsa, u holda siljigan davriy nuqtalar mavjud bo’lmaydi.

5--TA’RIF. Faraz qilaylik, -- davri bo’lgan davriy nuqta bo’lsin. nuqta ga musbat asimptotik deyiladi, agar bo’lsa. ga musbat asimptotik bo’lgan nuqtalar to’plami orqali belgilanadi va ga tortiluvchi to’plam deyiladi.
Agar davriy nuqta bo’lmasa, da bo’lishini talab qilish orqali ga musbat asimptotik ta’rifini kiritish mumkin. Agar teskarilanuvchi bo’lsa, u holda yuqoridagi ta’rifda deb olish orqali ga manfiy asimptotik nuqtalar ta’rifini kiritish mukin. Bu holda, ga manfiy asimptotik bo’lgan nuqtalar to’plami orqali belgilanadi va dan itariluvchi to’plam deyiladi.

6-MISOL. bo’lsin. tortiluvchi to’plam ochiq interval bo’ladi. itariluvchi to’plam – musbat haqiqiy sonlar to’plami, itariluvchi to’plam – manfiy haqiqiy sonlar to’plami bo’ladi.
Dinamik sistemalar nazariyasining asosiy maqsadi barcha turdagi orbitalar tabiatini tushunish va davriy, siljigan (oxir-oqibat) davriy, asimptotik va boshqa turdagi orbitalarni to’plamini aniqlashdan iborat. Umuman olganda, bu imkonsiz vazifadir. Masalan, agar kvadratik ko’phad bo’lsa, u holda davri bo’lgan davriy nuqtalarning aniq toppish uchun, darajali tenglamani yechish kerak bo’ladi. Bunday tenglamani yechish odatda qiyinchiliklarga olib keladi. Shu sababli bizda ushbu sistemaning dinamikasini sifat jihatidan yoki geometrik yo’l bilan tushunish imkoniyati qoladi. Bu degani, sistemaning barcha orbitalari tabiatining geometrik tasvirini izlashimiz kerak. Bu geometrik tasvir biz quyida muhokama qiladigan fazaviy portret (o’tishlar) da keltirilgan.
Haqiqiy sonlar o’qida aniqlangan funksiyaning grafigi uning faqat birinchi iteratsiyasi haqida ma'lumot beradi, ammo keyingi iteratsiyalar haqida juda kam ma’lumot beradi. Funksiyaning katta iteratsiyalarni tushunish uchun biz ularning har birining grafigini chizishga harakat qilishimiz mumkin, ammo bu juda qiyin protsedura. Dinamik sistemaning orbitalarini, fazalar portretini(o’tishlarini) tasvirlash uchun ancha samaraliroq, geometrik usul mavjud.
Tekisligidan farqli o’laroq, bu rasm haqiqiy sonlar o’qidagi sxema bo’lib, unda sistema barcha nuqtalarining trayektoriyalari tasvirlanishi mumkin. Masalan, akslantirishning barcha nol bo’lmagan orbitalarining davri 2 ga teng bo’lishi quyidagi chizmada tasvirlangan.


ning grafigi albatta ning birinchi iteratsiyasi haqida ma’lumotni o’z ichiga oladi. Biz undan yuqori iteratsiyalarni va grafik tahlil deb ataluvchi quyidagi protsedura orqali fazoviy portretni tushunish uchun foydalanishimiz mumkin. Ushbu diagonali odatdagidek sonlar o’qi bilan aynishlashtirib olamiz. nuqtadan ning grafigiga o’tkazilgan vertikal chiziq grafikni nuqtada kesadi. U holda nuqtadan dioganalga o’tkazilgan gorizontal chiziq grafikni nuqtada kesadi. Shu sababli, avval grafikka vertikal chiziq, keyin ortga qarab dioganalga gorizontal chiziq o’tkazilsa, nuqtaning dioganaldagi bo’yicha obrazi hosil qilinadi.
Shunday qilib, biz akslantirishlarning fazoviy portretini (o’tishlarini) o’qiga qarab emas, balki diagonalga qarab tasavvur qilishimiz mumkin. Shundan so’ng, trayektoriyani ketma-ket ravishda dioganaldan grafikka o’tkazilgan vertikal va keyin grafikdan dioganalga o’tkazilgan gorizontal chiziqlar orqali aniqlash mumkin. Quyidagi rasmda bu jarayon va akslantirishlar uchun berilgan.

Aylanada berilgan diffeomorfizmlar dagi akslantirishlardan biroz farq qiladigan qiziqarli xossalarga ega. Quyidagi misolda aylan diffeomorfizmining ba’zi xossalarini aniqlaymiz.