Dinamik sistemalar nazariyasiga doir asosiy tushunchalar dinamik sistemalarga misollar

GIPERBOLIKLIK
Dinamik sistemalar orasida bizga ma’lum bo’lgan va sodda akslantirishlar tipikdir. Buning sabablari ko’p bo’lishi mumkin, ammo bu akslantirishlarning eng g’ayrioddiy xususiyati -- barcha nuqtalarning bu akslantirishlar iteratsiayalari bo’yicha trayektoriyasi davriy bo’lishidir. Ko’pgina akslantirishlar bunday tabiatga ega emas va davriy nuqtalar to’g’ri chiziq bo’ylab tarqalib yotgan bo’ladi.
Ushbu bo'limda biz muhim tushunchalardan biri bo’lgan giperboliklik tushunchasini bilan tanisahmiz.
Davriy nuqtalarga ega bo’lgan akslantirishlar odatda ko’plab dinamik sistemalarda uchraydi va shu bilan birga davriylik tabiatini tahlil qilish uchun eng oddiy sistemalar hisoblanadi.

6-TA’RIF. nuqta davri bo’lgan davriy nuqta bo’lsin. Agar bo’lsa, nuqta giperbolik deyiladi. son davriy nuqtaning multiplikatori(ko’paytuvchisi) deyiladi.

9-MISOL. diffeomorfizmni qaraylik. 3 ta qo’zg’almas nuqtalar mavjud: . Oson ko’rish mumkinki, va . Shu sababli, har bir qo’zg’almas nuqta giperbolikdir. ning grafigi va fazaviy portreti quyida tasvirlangan.

10-MISOL. bo’lsin. nuqta giperbolik qo’zg’lmas nuqta va . Endi nuqtalar davri 2 bo’lgan davriy trayektorida yotadi.
Murakkab funksiyaning hosilasi formulasidan, . Shu sababli, nuqta giperbolik nuqta bo’ladi va uning trayektoriyasining fazaviy partreti quyida keltirilgan. intervaldagi nuqtalarning trayektoriyalari, nuqtalardan boshlab 0 nuqtaga spiral ko’rinishda yaqinlashib boradi.

Yuqoridagi 7-8- misollarda va shu sababli, 0 ga yaqin nuqtalarning trayektoriyalari 0 ga musbat asimptotik bo’ladi. Bunday holatlar ko’p uchrab turadi.

2-TEOREMA. giperbolik qo’zg’almas nuqta bo’lib, bo’lsin. U holda nuqtaning shunday atrofi mavjudki, bo’lganda
.
Isbot. bo’lgani uchun, shunday son mavjud bo’lib, uchun bo’ladi. U holda o’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan,
.
Demak, nuqta oraliqda joylashgan va shu bilan birga ga ga nisbatan yaqinroq ekan. Xuddi yuqoridagidek,
,
va shu sababli da . Teorema isbotlandi.

Yuqoridagi teoremadan kelib chiqadiki, to’plam, ga tortiluvchi bo’lgan to’plamning qismi bo’ladi. 2-teoremaning tasdig’i davri bo’lgan davriy nuqtalar uchun ham o’rinli bo’ladi. Bu holda va nuqtaning atrofi orqali o’ziga akslanadi.

7-TA’RIF. nuqta davri bo’lgan davriy nuqta bo’libr bo’lsin. U holda nuqta tortuvchi davriy nuqta deyiladi.