Dinamik sistemalar nazariyasiga doir asosiy tushunchalar dinamik sistemalarga misollar

KERAKLI TA’RIF VA TUSHUNCHALAR

Dinamik tizimlar nazariyasining asosiy maqsadi iteratsiyalanuvchi (takrorlanadigan) jarayonning vaqt o’tishi bilan qanday o'zgarishini yoki asimptotik holatini o'rganishdan iborat.

Bunga misollar sifatida populyatsiyalar sonining ko’payishi, ob-havoning o’zgarishi, radioaktiv parchalanish, okeandagi suyuqlik oqimlari va gazlarning aralashishi, sayyoralarning harakati kabilarni keltirish mumkin. Agar jarayon bog’liqsiz o’zgaruvchi vaqt bo’lgan differensial tenglama bo’lsa, u holda nazariya tenglama yechimlarining uzoq kelajakda ( ) yoki uzoq o'tmishda ( ) yakuniy harakatini bashorat qilishga harakat qiladi. Agar jarayon funksiya iteratsiyalari kabi diskret vaqtli bo’lsa, u holda nazariya nuqtalarning tabiatini (holatini), oshib borganda qanday bolishini tushunishga harakat qiladi. Ya’ni, dinamik sistema “matematikaga oid bo’lmagan” quyidagi savolni qo’yadi: nuqtalar qaerga boradi va ular yetib borganda nima qilishadi? Dinamik sistemalarni aniqlaydigan funksiyalarni akslantirishlar deb ataymiz.
funksiya berilgan bo’lsin. funksiya to’plamda sinfga tegishli deymiz, agar uning tartibgacha barcha hosilalari mavjud bo’lib, hosila barcha nuqtalarda uzluksiz bo’lsa. funksiya silliq deyiladi agar u sinfdan bo’lsa, ya’ni birinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsa. funksiya sinfga tegishli deb aytamiz, agar barcha hosilalari mavjud va uzluksiz bo’lsa.
1--TA’RIF. va lar interval hamda funksiya bo’lsin. funksiya gomeomorfism deyiladi, agar -- o’zaro bir qiymatli, uzluksiz va ham uzluksiz bo’lsa.
Masalan, funksiya ni intervalga akslantiruvchi gomeomorfizm bo’ladi.
2--TA’RIF. bo’lsin. funksiya diffeomorfism deyiladi, agar funksiya --gomeomorpfizm bo’lib, ham --gomeomorpfizm bo’lsa.
Oson ko’rish mumkinki, funksiya ni intervalga akslantiruvchi --diffeomorfizm bo’ladi. funksiya gomeomorfizm bo’lib, uning teskarisi bo’lgan funksiyaning nuqtada hosilasi mavjud emas.
Berilgan ikkita va funksiyalarning kompositsiasini orqali belgilaymiz. orqali funksiyaning marta ozini-o’ziga kompositsiyasini belgilaymiz: . Demak, -- berilgan funksiyaning -- darajasi yoki -- tartibli hosilasini bildirmaydi.
Biror nuqta olib, uning ushbu

iteratsiyalarini qaraymiz.