Differensiyalovchi funksiyalar haqidagi teoremalar. Roll, Lagranj va Koshi teoremalari

Differensiyalovchi funksiyalar haqidagi teoremalar. Roll, Lagranj va Koshi teoremalari

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan va x (a;b)

Qandaydir fiksirlangan nuqta, x – argumentning x nuqtadagi orttirmasi, y=f(x+ x)-f(x) – funksiyaning shu nuqtadagi mos orttirmasi, y/ x – orttirmalar nisbati ( x – ga bog’liq, x - fiksirlamgan) bo’lsin.

T. Agar y=f(x) funksiyaning y’(x) hosilasi mavjud bo’lsa, bu funksiya x nuqtada differensialanovchi funksiya deyiladi; hosilani hisoblash amali – differensialash deb ataladi.

T. Agar y=f(x) funksiya (a;b) intervalning har bir nuqasida differensialovchi bo’lsa, u holda f(x) funksiya (a;b) intervalda differensialovchi funksiya deyiladi.

ROLL TEOREMASI ( HOSILANING NOLI HAQIDA)

• ROLL TEOREMASI ( HOSILANING NOLI HAQIDA)

T. Agar y=f(x) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz,

2) (a,b) intervalda f’(x) differensialanovchi,

3) funksiyaning kesmaning oxiridagi qiymatlari teng, ya’ni f(a)=f(b) bo’lsa, u holda (a,b) intervalga tegishli kamida bitta shunday (a,b) nuqta mavjudki, bu nuqtada funksiyaning hosilasi

0 ga teng bo’ladi.

ROLL TEOREMASINING GEOMETRIK MA’NOSI

Agar funksiya Roll teoremasi shartlarini qanoatlantirsa, u holda kesmaning qaysidir nuqasida funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma

Ox o’qiga parallel bo’ladi.

Roll teoremasi funksiya hosilasini hisoblamay turib uni nolga aylanishini imkonini beradi.

Agar f(x) funksiya [a,b] kesmaning barcha nuqtalarida hosilaga ega bo’lmasa, u holda f’( ) nolga aylanuvchi shunday nuqta ma-

• Agar f(x) funksiya [a,b] kesmaning barcha nuqtalarida hosilaga ega bo’lmasa, u holda f’( ) nolga aylanuvchi shunday nuqta ma-

jud bo’lmasligi mumkin.

y=|x|

(y0 )’=1

(y0 )’=-1

y’(0)- mavjud emas (ta’rifga ko’ra).

LAGRANJ TEOREMASI (CHEKLI ORTTIRMALAR HAQIDA TEOREMA)

LAGRANJ TEOREMASI (CHEKLI ORTTIRMALAR HAQIDA TEOREMA)

T. Agar y=f(x) funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1) f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz,

2) (a,b) intervalda f’(x) differensialanovchi, u holda (a,b) intervalga tegishli kamida bitta shunday $ (a,b) nuqta mavjudki,

bu nuqtada f(b)-f(a)=f’($)(b-a)tenglik bajariladi.

LAGRANJ TEOREMASINING GEOMETRIK MA’NOSI

CB/AC=(f(b)-f(a))/(b-a) – AB kesuvchining burchak koeffitsienti.

F’($) – y=f(x) egri chiziqqa x=$ nuqtada o’tkazilgan urinmaning bur-

chak koeffitsienti. AB egri chiziqda kamida bitta shunday M nuqta topiladiki, bu nuqtadan o’tkazilgan urinma AB kesuvchi(vatar)ga

parallel bo’ladi.

1) Isbotlangan formula Lagranj formulasi yoki chrkli orttirmalar formulasi deyiladi. a<$

f(b)-f(a)=f’[a+0(b-a)](b-a).

2) $ nuqtalar bir nw=echta bo’lishi mumkin.

2) $ nuqtalar bir nw=echta bo’lishi mumkin.

3) Agar f(a)=f(b), u holda f’($)=0 bo’ladi. Demak, ROLL teoremasi tasdig’iga ega bo’ldik.

4) Lagranj teoremasidan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkin: f(b)-f(a)=f’[a+0(b-a)](b-a), by yerda 0<0<1. 0=1/2 deb olsak, u holda f(b)-f(a) f’[(a+b)/2](b-a). b ning qiymati a Ning qiymatiga qanchalik yaqin bo’lsa xatolik shunchalik kichik bo’ladi.

KOSHI TEOREMASI ( chekli ayirmalar haqidagi umumlashgan teorema)

KOSHI TEOREMASI ( chekli ayirmalar haqidagi umumlashgan teorema)

Agar f(x) va y= (x) funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:

1) f(x), (x) funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz,

2) (a,b) intervalda funksiyalar f’(x), ’(x) differensiyalanuvchi,

3) y= (x) funksiya x (a,b)da noldan farqli hosila( ’(x) 0)ga ega, u holda (a,b) intr=ervalga tegshli kamida bitta shunday $ (a,b) nuqta mavjudki, bu nuqtada [f(b)-f(a)] / [ (b)- (a)]= [f’($)] / [ ’($)]