Differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajraladigan va bir jinsli differensial tenglamalar 1- misol

Differensial tenglamalar. O`zgaruvchilari ajraladigan va bir jinsli differensial tenglamalar

1- misol

O’zgaruvchilarni ajratamiz

sohada integrallab, umumiy yechimni hosil qilamiz.

ham yechimdir.

Ko’rsatma. Agar 8 - misolining umumiy yechimida deb olsak, umumiy yechimni soddaroq holda yozish mumkin:

Bundan

Agar bo’lsa, u holda y = 0 va demak, javobni quyidagicha yozish mumkin:



2– misol.

O’zgaruvchilarni ajratamiz:

Umumiy yechim

Koshi masalasini yechish uchun berilgan boshlang’ich qiymatlarni tenglamaga qo’yamiz va parametr c ning qiymatini topamiz: c = 1. Demak Koshi masalasining umumiy yechimi:

3- misol. Agar egri chiziqga o’tkazilgan urinmaning burchak koeffisiyenti o’rinish nuqtasi ordinatasiga teng bo’lsa, shu egri chiziqlar oilasi tenglamasini toping. A (0,1) nuqtadan o’tuvchi egri chiziqni aniqlang.

Masala shartiga ko’ra bo’lib, o’zgaruvchilarni ajratsak tenglamaga kelamiz. Integrallash natijasida

va ni hosil qilamiz. Bu chiziq asimptotalari OX o’qi va x = - c chiziq bo’lgan giperbolalar oilasidan iborat. y = 0 tenglamaning xususiy yechimi.

Demak masala yechimi , y = 0 dan iborat. A nuqtadan o’tuvchi egri chiziqni topish uchun umumiy yechimda x va y ni A nuqtaning koordinatalari bilan almashtiramiz va

c₌ -1. Demak berilgan nuqtadan o’tuvchi integral chiziq tenglamasi yoki dan iborat.

4 - misol. Shunday chiziqlarni topish keraki, PN normal osti har doim p - ga teng bo’lsin.

Ma’lumki PN = . Demak masala shartiga ko’ra PN = p, yoki . O’zgaruvchilarni ajratib ydy=pdx ni hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallaymiz yoki va berilgan masalaning umumiy yechimini hosil qilamiz.