Differensial geometriya va topologiya

Egri chiziq tushunchasi

Bizga γ elementar egri chiziq va unda biror M nuqta berilgan bo‘lsin. Berilgan chiziqning M nuqtasida o‘tkazilgan urinmasi tushunchasini kiritamiz. Buning uchun M nuqtadan l to‘g‘ri chiziqni o‘tkazaylik, N bilan M ga yaqin bo‘lganγ chiziqning birorta nuqtasini belgilaylik. Egri chiziqdagi M va N nuqtalar orasidagi masofani d bilan, N nuqtadan l to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani h bilan belgilaylik

Ta’rif. Fazodagi (yoki tekislikdagi) γ to’plam birorta ochiq intervalning topologik (gomeomorf) akslantirishdagi obrazi bo’lsa, u elementar egri chiziq deb ataladi.

Bu ta’rifga ko’ra, birorta akslantirish uchun, tenglik o’rinli bo’lib, γ topologik akslantirish bo’lsa, γ elementar egri chiziq deb ataladi.

Biz akslantirish yordamida berilgan elementar γ egri chiziqni qaraylik. Ochiq intervalga tegishli ixtiyoriy t nuqtaga mos keluvchi nuqtaniγ(t) bilan belgilasak, f gomeomorfizmni ko’rinishda yoza olamiz. Bu nuqtaning koordinatalarini funksiyalar bilan belgilasak, f akslantirish

ko’rinishda bo’ladi. Shuning uchun quyidagi tengliklar sistemasi γ chiziqning

parametrik tenglamalari deyiladi:

Tabiiyki, f −uzluksiz akslantirish bo’lganligi uchun, koordinatalar t o’zgaruvchining uzluksiz funksiyalaridir. Agar γ elementar egri chiziq funksiyaning grafigi bo’lsa, uning parametric tenglamalari ko’rinishda bo’ladi. Elementar egri chiziqning parametrik tenglamalari topologik f akslantirish yordamida aniqlanadi. Shuning uchun, agar γ chiziqni boshqa gomeomorfizm yordamida aniqlasak, uning parametrik tenglamalari o’zgaradi. Birinchi bobda ko’rdikki, har qanday ikki ochiq interval o’zaro gomeomorfdir. Shuning uchun, akslantirish yordamida aniqlangan elementar γ egri chiziqni ixtiyoriy intervalning boshqa gomeomorf akslantirishdagi obrazi deb qarash mumkin. Haqiqatdan, agar gomeomorfizm bo’lsa, unda γ chiziqni akslantirish yordamida bera olamiz. Bu erda Fakslantirish qoida bilan aniqlanadi. Gomeomorfizmlarning kompozitsiyasi sifatida F ham gomeomorfizmdir. Demak, har bir elementar egri chiziqnicheksiz ko’p usullar bilan parametrlash mumkin.

Ta’rif.Berilgan γ elementar egri chiziqni differensiallanuvchi funksiyalar yordamida parametrlash mumkin bo’lsa, u silliq elementar egri chiziq deb ataladi.

Izoh: Zarur bo’lgan hollarda, biz yuqori tartibli hosilalarning mavjud va uzluksiz bo’lishini talab qilamiz.