Дифференциальные уравнения

Основные свойства проекции:

1. 
   , где - угол между вектором и осью ;
   
2. 
   ;
   
3. 
   ;
   
4. 
   .
   

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осях и единичные векторы, обозначаемые соответственно (рис. 3.10).

Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называются ортами координатных осей.
Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения вектора совместим его начало с началом координат (рис. 3.10). Из конца вектора проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим , и точки пересечения этих плоскостей с осями соответственно. Тогда
,
, , .
а значит, существуют числа , такие что
, , и
, , .
Следовательно, вектор можно представить в виде:
. (3.5)
Формула (3.5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису . Коэффициенты линейной комбинации (3.5) называют прямоугольными координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство (3.5) записывают в виде
(3.6)
Имеет место аналогичное разложение вектора по базису на плоскости (рис. 3.11).

. (3.7)
Длина вектора с координатами определяется по формуле
. (3.8)
Для плоского вектора
. (3.9)
Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называют направляющими косинусами вектора. Обозначим - углы, которые составляет вектор с осями соответственно, тогда
, , . (3.10)
Справедливо равенство
. (3.11)
При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси.
Пусть даны два вектора и .
При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число:
, (3.12)
.
Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:
, , . (3.13)
Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.
. (3.14)

Радиус-вектором точки называется вектор (рис. 3.12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой .

Координаты точки – это координаты её радиус-вектора .
Для вектора , заданного координатами точки и , его координаты определяются из векторного равенства
(3.15)
Здесь и - радиус-векторы точек и , т.е. координаты вектора равны разностям одноименных координат конечной и начальной точек этого вектора.