Дифференциальные уравнения

Деление отрезка в данном отношении
Определим радиус-вектор точки , делящей отрезок в отношении .
Вектор и одинаково направлен с , поэтому . Учитывая векторные равенства , получим ,
откуда (3.16)
Из равенства векторов (3.16) следуют три координатных формулы
, , . (3.17)
Для ( - середина отрезка )
, , . (3.18)


3.3 Скалярное произведение векторов


Определение 3.5 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, обозначаемое , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 3.13).
Таким образом
(3.19)
где .

Из рисунка видно:
, . (3.20)
С учетом (3.20) можно записать равенства
. (3.21)


Свойства скалярного произведения:
1) (коммутативный закон);
2) (дистрибутивный закон);
3) (ассоциативный по отношению к скалярному множителю);
4) , скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора. В частности .
5) Условие перпендикулярности векторов.
Если векторы и ненулевые, то (3.22)
В частности .


Скалярное произведение в координатной форме
Пусть векторы и заданы своим разложением по базису ; и . Перемножая векторы как многочлены с учетом распределительного закона умножения и свойств скалярного произведения базисных векторов, получим:
. (3.23)
То есть, если векторы и заданы своими координатами в базисе , то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.