Дифференциал тенгламалар Умумий тушунчалар. Биринчи тартибли ўзгарувчилари ажраладиган ва бир жинсли дифференсиал тенгламалар

2. Биринчи тартибли тенгламалар. Биринчи тартибли тенглама умумий ҳолда
(1)
кўринишда ёзилади. (1) тенгламани га нисбатан ечсак (2)
бўлади. (2) тенгламанинг ўнг томони фақат нинг функсияси бўлса, тенглама (3)
кўринишида бўлиб, охирги тенгликдан бевосита кўриш мумкинки, бундай тенгламанинг ечимини топиш функсиянинг бошланғич функсиясини топишдан иборат бўлади, яъни . Шундай қилиб, (3) кўринишдаги биринчи тартибли дифференсиал тенгламанинг ечими чексиз кўп ечимлар тўпламидан иборат бўлади.
4-таъриф. нинг функсияси ҳар бир ихтиёрий ўзгармас бўлганда (2) тенгламани қаноатлантирса, унинг умумий ечими дейилади.
5-таъриф. ихтиёрий ўзгармаснинг муайян қийматида умумий ечимдан олинадиган ечимга хусусий ечим дейилади.
Умумий ечимдан ягона ечимни олиш учун кўпинча қўшимча (4)
шартдан фойдаланилади, бу ерда лар берилган сонлар бўлиб, бу шартга бошланғич шарт деб аталади.
6-таъриф. дифференсиал тенгламанинг (4) бошланғич шартни қаноатлантирувчи
ечимини топиш масаласига Коши масаласи дейилади.
1-мисол. дифференсиал тенглама учун бўладиган бошланғич шартни қаноатлантирувчи Коши масаласини ечинг.
Ечиш. Олдин берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечимини топамиз: . Энди бошланғич шартдан фойдаланиб, бундан келиб чиқади. Демак, Коши масаласининг ечими бўлади.


3. Ўзгарувчилари ажралган ва ажраладиган биринчи тартибли тенгламалар.
7-таъриф. кўринишдаги тенгламага ўзгарувчилари ажралган дифференсиал тенглама дейилади.
Бундай дифференсиал тенгламани бевосита, тенгликни интеграллаб унинг умумий ечими топилади, яъни бўлади.
2-мисол. дифференсиал тенгламанинг умумий ечимини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани бевосита интеграллаб умумий ечим бўлади. Бунда .