Designing Sound


Technique 3—Nonlinear Functions



Download 48,3 Mb.
Pdf ko'rish
bet267/545
Sana17.05.2023
Hajmi48,3 Mb.
#939825
1   ...   263   264   265   266   267   268   269   270   ...   545
Bog'liq
Andy Farnell, Designing Sound (2010)

286
Technique 3—Nonlinear Functions
T
0
(
x
) = 1
T
1
(
x
) =
x
T
2
(
x
) = 2
x
2

1
T
3
(
x
) = 4
x
3

3
x
T
4
(
x
) = 8
x
4

8
x
2
+ 1
T
5
(
x
) = 16
x
5

20
x
3
+ 5
x
T
6
(
x
) = 32
x
6

48
x
4
+ 18
x
2

1
T
7
(
x
) = 64
x
7

112
x
5
+ 56
x
3

7
x
T
8
(
x
) = 128
x
8

256
x
6
+ 160
x
4

32
x
2
+ 1
T
9
(
x
) = 256
x
9

576
x
7
+ 432
x
5

120
x
3
+ 9
x
Figure 19.5
The first ten Chebyshev polynomials.
Figure 19.6
Doubling.
For sound design they offer a great shortcut in the synthesis
method of waveshaping. If a pure sinusoidal wave with frequency
f
is applied, the result is a harmonically shifted version at
nf
for
T
n
. The amplitude of the new harmonic can be made to depend
on the input amplitude too. Let’s ignore
T
0
and
T
1
since one has
a range that’s a constant and the other is the identity (which
gives the input signal). But we can look at the first useful one,
T
2
, which is a frequency doubler. For practical purposes we can
ignore the multiplier and offset and reduce the analysis to that
of
x
2
.
time
frequency
400
1.000
801
0.560
Figure 19.7
The second Chebyshev polynomial
T
2
creates a 2
f
component from
f
.
We already looked at the properties of squaring a signal in the context of
envelope curves. When a sine wave is squared the result is a new sine wave at


19.2 Chebyshev Polynomials
287
twice the frequency raised above zero. A way of looking at this is that since
x
2
is the same as
x
×
x
then we are multiplying, or modulating, a signal with
itself. In the frequency domain this gives us a sum and difference. The sum will
be
x
+
x
= 2
x
, making twice the original frequency. The difference,
x

x
= 0,
gives a frequency of zero, or a DC offset. Another clue is to remember that
the squares of negative numbers are positive, so for a bipolar input we will
only get a unipolar output, and so the output must always be above zero. The
patch of figure 19.6 shows a squared sine added to an unmodified copy. A
object removes the DC offset, so the signal sits around zero as seen in the
time domain graph of figure 19.7. In the right-hand graph we see a spectrum
snapshot showing the new harmonic at twice the input frequency.
Figure 19.8
A third harmonic.
We can extend this principle to get the second, third,
and higher harmonics. For the first few Chebyshev polyno-
mials it’s not too difficult to implement them directly using
basic arithmetic objects. Figure 19.8 shows a patch for
T
3
using a few multiply operations. Chebyshev polynomials
are alternately odd and even functions. Only the functions
that are odd contain the original frequency; those that are
even produce the first harmonic instead. This one is odd
because it implements 4
x
3
+ 3
x
. In this example we can
blend between the fundamental and second harmonic by
varying the amplitude, so there is no need to explicitly mix
in a copy of the driving sinusoid if we need it. To demon-
strate the rapid growth of complexity, one more example
for
T
4
is given in figure 19.9.
Keypoint
Chebyshe
v
polynomials can be used to add specific harmonics.
Figure 19.9
Chebyshev
T
4
.
It’s an even function since
T
4
(
x
) = 8
x
4

8
x
2
+ 1
contains only even coefficients (plus a constant we can
ignore). Notice that every other coefficient term is sub-
tracted or added to the previous. This causes some har-
monics to be created out of phase and cancel with others.
Because of this the output amplitude is always within a
normalised range. In fact Chebyshev polynomials are spe-
cial, carefully constructed cases of more general rules that
let us predict a spectrum from any polynomial function.
By combining polynomials we can theoretically produce
any spectra at a much lower cost than using oscillators
additively. Furthermore, they can then be factored and
simplified to produce a single polynomial (perhaps with
a great many terms) that will produce the spectrum we



Download 48,3 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   263   264   265   266   267   268   269   270   ...   545




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish