Designing Sound

Transfer function y = tanh(x)
Transfer function y = 
x
Sine in, sine out
Sine in, squashed sine out
Figure 19.1
Waveshaping with identity and tanh transfer functions.
transfer
Figure 19.2
A table-based waveshaper noise.
But there is more to it. Look at the slope of tan
−
1
(
x
) near the middle,
for small values around zero. It is almost a straight line. As the amplitude of
the input signal tends towards zero the function is more linear. This means
the spectrum of the output (as well as its amplitude) depends on the ampli-
tude of the input. That’s great for synthesis of natural sounds, because louder
sounds usually contain more harmonics. In figure 19.4 the same input produces
a distorted and harmonically richer sound when its amplitude is high, but
decays back towards a sinusoidal wave as the amplitude decreases.

---

19.2 Chebyshev Polynomials
285
time
frequency
Figure 19.3
A linear transfer function has no effect.
time
frequency
Figure 19.4
A tan
−
1
transfer function makes more harmonics when the input is louder.
SECTION 19.2
Chebyshev Polynomials
Remember polynomials were mentioned in the section on shaping. Let’s take
a closer look at these now. A particular class of polynomial functions, discov-
ered by nineteenth-century Russian mathematician Pafnuty Lvovich Cheby-
shev, have some interesting properties. The functions listed in figure 19.5 are
known as Chebyshev polynomials of the first kind and given the symbol
T
n
,
with the subscript denoting the
n
th polynomial in the series. You may notice
a relationship between Pascal’s triangle and the terms.

---