Designing Sound

50
Oscillations
0.321L 0.367L
0.501L
0.226L
0.774L
L
17.55f
6.27f
f
+
Fundamental
First overtone (second harmonic)
Second overtone (third harmonic)
Superposition
Actual vibration
(exaggerated)
Figure 4.9
Vibrational modes of a bar clamped at one end.
to use a formula called the Euler–Bernoulli beam equation for a zero bound-
ary condition. It’s too complex to derive here, but it shows where the nodes
appear (as shown in figure 4.9). Notice they bunch up towards the supported
end causing a distortion that effectively warps the frequency spacing. For the
fundamental, using Young’s modulus
E
, the bar length
l
, and the material
density
ρ
, for a bar supported at one end we get;
f
=
0
.
5596
l
2
ER
2
ρ
(4.15)
with harmonics in the series
f
, 6
.
267
f
, 17
.
55
f
, and 34
.
39
f
. For a free bar we
get a fundamental frequency
f
=
3
.
5594
l
2
ER
2
ρ
(4.16)
with a harmonic series
f
, 2
.
756
f
, 5
.
404
f
, and 8
.
933
f
.
Oscillation of Cones, Membranes, Laminas
Many simple geometric objects have standard formulas for calculating their
fundamental frequency and harmonic modes. Rather than give the all formulas
here let’s just touch on the general principles. You can find appropriate formulas
in the textbooks listed in the reference section and from many other books on
mechanical engineering. I will give formulas for other objects as we encounter

---