|
Лемма о многограннике. Пусть - многогранник в , заданный системой линейных неравенств:
где и - линейные функционалы. Пусть - вершина многогранника и . Тогда количество элементов во множестве не меньше, чем . Другими словами, количество граней, сходящихся в данной вершине многогранника, не меньше, чем размерность многогранника.
Доказательство. Допустим противное. Тогда система линейных уравнений
содержит меньше уравнений, чем неизвестных (координат вектора ) и, следовательно, имеет нетривиальное решение . При достаточно малом векторы принадлежат . Мы пришли к противоречию с тем, что - вершина многогранника.
Лемма об округлении коэффициентов. Пусть конечное подмножество мерного нормированного пространства, набор числовых коэффициентов, , и . Тогда найдется набор коэффициентов , или (набор округленных коэффициентов), для которого выполняется неравенство
.
Доказательство. Если , то достаточно положить при и при . Рассмотрим случай . Введем вспомогательное пространство коэффициентов и рассмотрим многогранник в , задаваемый системой неравенств , и равенств , где - это координаты вектора, принадлежащего многограннику. Так как многогранник не пуст и ограничен, то существует вершина многогранника . Заметим, что векторное равенство - это система из скалярных равенств. Значит, по предыдущей лемме, среди координат точки есть равных нулю или единице. Теперь определим числа следующим образом: если или , то , если , то , если же , то . Имеем
.
Так как чисел равны нулю, а остальные не превосходят , то
.
Определим множества и следующим образом:
.
Элементы множества будем называть частными суммами. Понятно, что , и что - выпуклое множество. Через обозначим замыкание множества .
Лемма 3. Пусть произвольное банахово пространство, условно сходящийся ряд в . Тогда множество с каждым своим элементом содержит и .
Замечание: Пусть любое конечное подмножество членов ряда , а произвольный элемент пространства . Заключение леммы 3 справедливо, если вместо взять .
Докажем теперь вторую часть теоремы Штейница, то есть что
.
Доказательство будет существенно сложнее, чем доказательство первой части в предыдущем параграфе. Сначала мы покажем, что для любого элемента найдется перестановка исходного ряда и такая последовательность индексов , что , то есть, что к сходится лишь некоторая подпоследовательность частичных сумм переставленного ряда. После этого мы построим “исправленную" перестановку , для которой ряд будет, уже по настоящему, сходится к элементу .
Рассмотрим множество . Оно содержит , и значит, согласно лемме 3, содержит и ( ). Зададимся последовательностью чисел .
Приблизим элемент элементом :
,
приблизим далее в соответствии с леммой об округлении коэффициентов элементом :
,
где равны нулю или единице. Выделим множество тех , в последней сумме, для которых и, если туда не попал , присоединим его. Полученное множество обозначим , а сумму попавших в него элементов через .
Таким образом
.
Рассмотрим теперь множество . Оно содержит и, значит, по замечанию к лемме 3 . Приблизим элементом : . Приблизим далее элементом из :
,
где равны нулю или единице. Присоединим к множество тех из последней суммы, для которых и, если ни в , ни среди присоединенных элементов нет , то присоединим и его. Полученное множество обозначим , а сумму его элементов обозначим . Имеем теперь
.
Продолжая это построение неограниченно, получим последовательность конечных множеств
.
Если выписать подряд члены множеств , то согласно полученным оценкам мы построим требуемое упорядочение ряда.
Перейдем ко второй части доказательства. Мы имеем ряд (для удобства обозначим его ), общий член которого стремится к нулю (в силу сходимости исходного, еще не переставленного, ряда), и некоторая последовательность его частичных сумм сходится к :
.
Из последнего соотношения следует, что
.
Применим к каждому из множеств лемму Штейница, и полученную перестановку всего ряда обозначим .
Сначала переставим .
.
Все частичные суммы левой части этого равенства
.
Затем переставим
Все частичные суммы левой части этого равенства
. И т.д.
Продолжая начатый процесс имеем следующие соотношения:
,
и для любого
.
Пусть произвольное натуральное число, , и таково, что . Тогда
.
Следовательно . Значит ряд и сумма этого ряда равна . Таким образом .
Замечание: Из теоремы Штейница следует, что область сумм условно сходящегося ряда в конечномерном пространстве не может состоять из одной точки.
Do'stlaringiz bilan baham: |
