Dars rejasi. Dars o‘tiladigan sana

2). Funksiyaning ekstremumi. Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi nо‘lga teng yoki uzilishga ega bо‘ladigan nuqtalari kritik nuqtalar deyiladi.
3-ta’rif. nuqtaning shunday atrofi mavjud bо‘lsaki, bu atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada maksimumga ega deyiladi.
4-ta’rif. nuqtaning shunday atrofi mavjud bо‘lsaki, bu atrofning har qanday nuqtasi uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada minimumga ega deyiladi.
Funksiyaning maksimum yoki minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalari deyiladi.
Ekstremumga ega bо‘lshishinig zaruriy sharti. funksiya nuqtada ekstremumga ega bо‘lsa, nо‘lga teng yoki u mavjud bо‘lmaydi.
Eslatma. Har qanday kritik nuqta ham ekstremum nuqtasi bо‘lavermaydi.
Ekstremumning yetarli shartlari. Birinchi qoida. nuqta funksiyaning kritik nuqtasi bо‘lib, funksiya hosilasi ishorasi bu nuqtadan о‘tishda ishorasini о‘zgartirsa, nuљta, funksiyaning ekstremum nuqtasi, va:
1) nuqtadan chapdan о‘ngga о‘tishda о‘z ishorasini musbatdan manfiyga о‘zgartirsa, nuqtada funksiya maksimumga;
2) nuqtadan chapdan о‘ngga о‘tishda о‘z ishorasini manfiydan musbatga о‘zgartirsa, nuqtada funksiya minimumga ega bо‘ladi.
Ikkinchi qoida. nuqtada birinchi hosila nolga teng, ikkinchi hosila nо‘ldan farqli bо‘lsa, nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi va :

1. 
   bо‘lsa, maksimum nuqtasi;
   
2. 
   bо‘lsa, minimum nuqtasi bо‘ladi.
   

Shunday qilib, monotonlik oraliqlarini, funksiya ekstremumini topish uchun, oldin funksiyaning aniqlanish sohasini kritik nuqtalar yordamida monotonlik oraliqlariga bо‘lish va ularda hosila ishorasini tekshirish kerak. Keyin monotonlik va ekstremumning yetarlilik shartlaridan foydalanib, о‘sish va kamayish oraliqlarini, maksimum va minimum nuqtalarini aniqlaymiz.
2-misol. funksiyaninshg ekstremumini birinchi qoida bilan tekshiring.
Yechish. Kritik nuqtalarni topamiz:
bunda
bо‘lib, bо‘ladi.
Endi argumentning kritik nuqtalaridan о‘tishda funksiya hosilasining ishoralarini tekshiramiz:
bо‘lsa, bњlib,
bњladi, ya’ni ishora musbat bо‘lsa, ya’ni ishora manfiy(-). Demak, nuqtadan о‘tishda funksiya hosilasining ishorasi musbatdan manfiyga о‘zgaradi. Birinchi qoidaga asosan nuqtada berilgan funksiya maksimumga ega bо‘ladi.

Endi -2< <3 bо‘lsa, bо‘lib, hosilaning ishorasi manfiy bо‘lsa, bо‘lib, musbat (+) bо‘ladi. Demak, nuqtadan о‘tishda funksiya hosilasi ishorasini manfiydan musbatga о‘zgartiradi, birinchi qoidaga asosan funksiya nuqtada minimumga ega bо‘ladi.

3-misol. funksiya ekstremumini ikkinchi qoida bilan tekshiring.
Yechish. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni topamiz:

endi kritik nuqtalarni topaylik:

bundan, va

bњladi. Demak, kritik nuqtalar: bо‘ladi. Endi ikkinchi tartibli hosilaning kritik nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:

Shunday qilib, ekstremumga ega bо‘lishning ikkinchi qoidasiga asosan, nuqtalarda minimum, nuqtada funksiya maksimumga ega bо‘ladi.