Darajali qatorlar

DARAJALI QATORLAR.

9.1. Darajali qatorlar.
, ko`rinishdagi qatorlar darajali qatorlar deyiladi. sonlari darajali qator koeffisentlari deyildi.
X ning turlicha qiymatlarida turlicha sonli qatorlar xosil qilish mumkin. Ulardan ba`zilari yaqinlashuvchi, ba`zilari uzoqlashuvchi bo`lib qoladi.
Berilgan qator yaqinlashuvchi bo`ladigan X lar qator qator yaqinlashish sohasi deyiladi. Bu soha bo`sh emas, chunki hech bo`lmagnda X=0 ( ) da yaqinlashuvchi qator paydo bo`ladi.
Bunday qatorlar qismiy yig`indilari ham funksiya bo`ladi

Demak, qator yig`indisi xam X ning funksiyasidir: S = S (x)
Dastlab, qatorni qaraymiz.
Teorema (Abel N.X). Agar darajali qator nuqtada yaqinlashsa, [ ] oraliqda yaqinlashadi. Agar nuqtada uzoqlashsa, ( oraliqda ham uzoqlashadi.
Isboti. nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsin, u holda

Ya`ni { } chegaralangan, | |> M , .
qatorni absalyut yaqinlashsa tekshiramiz.
, da kamayuvchi geotrik progressiya hosil bo`ladi va qator yaqinlashuvchi.
Ikkinchi qismini isbotlash uchun teskarisini faraz qilamiz.
da yaqinlashuvchi bo`lin. U holda qator nuqta ham yaqinlashishga majbur bo`lar edi.
Demak, qator uchun shunday bir R soni mavjudki, qator |x| da absalyut yaqinlashuvchi, |x|> R uzoqlashuvchi bo`ladi. Bu son yaqinlashish radiusi, (- R, R) esa yaqinlashish intervali deyiladi.
Teorema. (Koshi –Adamar)
Isboti. qatorni absalyut yaqinlashishga tekshiramiz.

Demak, Dalamber alomatiga ko`ra, qator

bo`lganda absalyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
Berilgan qator da qo`shimcha tekshiriladi.
Misol. 1)
ekanligidan da qo`shimcha tekshiramiz.
da qator hosil bo`lib, Leybnis alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi.
da garmonik qator hosil bo`lib, u uzoqlashuvchidir.
Berilgan qator [-R; R]=(-1;1) yarim intervalda yaqinlashuvchi.
qator uchun yaqinlashishi intervali tengsizlikdan topiladi.
Misol. 1) qator uchun

dan va
da ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvchi, da esa qator uzoqlashuvchi bo`lganligi uchun yaqinlashish intervali

bo`ladi.
Teorema. Agar f(x) funksiya (-R;R) intervalda darajali qatorga yoyilagan.

Qatorning yaqinlashish intervali ham (-R;R) bo`lsa, bu intervalda

,
Tengliklar o`rinli. Natijaviy qatorlar ham (-R;R) yaqinlashish intervaliga ega.
Misol. 1) f(x)= qator yig`indisini toping.
ekanligidan R

Yig`indidan ikki marta (-1;1) intervalda hosila olamiz.


Endi ikki marta integrallab, S(x) ni topamiz.
S(x)
f(x)=
2) f(x)= yig`indini toping.
ekanligidan
Dastlab,
yig`indini jamlashga harakat qilamiz.

Agar desak,

Demak, . U holda va
.
ekanligidan
Teorema. Agar intervalda

bo`lsa, bu yoyilma yagona va ning Makloren qatoridir.