Darajali qatorlar

9.2.Fure qatorlari.
,
Ko`rinishdagi qator tregonametrikqator deyiladi, bunda tregonametrik qator koeffisentlari deyiladi.
Bu qator ixtiyoriy da 2 davrga ega funksiyalardan tuzilgan, shuning uchun, agar u kesmada yaqinlashsa, da ham yaqinlashadi.
Agar da

Sistemaning bir xil bo`lmagan elementlari ko`paytmasidan integral olsak, natija nolga

bitta funksiya kvadrati integrali

ekanligini olamiz. Agar qaralayotgan funksiyalar evalit fazasida deyilsa, sistema elementlari o`zaro ortagonaldir.



Bundan tashqari,



Teorema. Agar funksiya da aniqlangan, integrallanuvchi va hadma-had integrallanadigan trigonametrik qatorga yoyilsa,

u holda yoyilma yagonadir.
Isboti. Yoyilmani da integrallaymiz.

Demak. ko`rinishida topilar ekan.


Bundan, ko`rinishida bo`lishi kelib chiqadi.
Yoyilmani sinkx ga ko`paytirib integrallasak,

kelib chiqadi, undan ko`rinishida ekanligi topiladi.
Demak, har bir koeffisenti yuqoridagi integrallar yordamida topiladigan funksiya yoyilamasi yagonadir.
Yuqaridagi koeffisentlari f(x) funksiyaning [ ] kesmadagi Fure koeffisentlari,

qator esa f(x) ning Fure qatori deyiladi.
2 davrli, [ ] f(x) bilan ustma- ust tushadigan, da davriy davomi F(x) ga yaqinlashadi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya [ ] da aniqlangan, juft bo`lsin,
U holda
bo`lib,

ko`rinishga ega bo`ladi.
Agar f(x) toq, f(-x)=-f(x) bo`lsa,

bo`lib,

ko`rinishini oladi.
Misol. 1) f(x)=x bo`lsin. U holda funksiyaning toqligidan

Demak, f(x) uchun Fure qatori

ko`rinishda bo`ladi , tenlik da o`rinli , da
olinadi.
2) f(x)=x<sup>2</sup> bo`lsa,


ga mos Fure qatori da

bo`ladi.
Agar f(x) funksiya da yaqinlashgan 2 davrli funksiya bo`lsa, §= ko`rinishida yangi o`zgaruvchi kiritsak bo`lib, da bo`ladi, bunda
Eski o`zgaruvchilarga qaytsak,

ko`rinishida, Fure qatori esa

ko`rinish oladi.