Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.3.1 
Interpreting the Input Forcing Functions in circuit differential equations
We can identify a sequence of time instants at which certain ‘switching events’ will take place in any 
circuit problem in general. Quite often, this sequence of time points may contain only one entry – as 
in the case of an RL circuit with battery connected to it by a switch that closes at some specified time 
instant. However, it is quite possible that a sequence of switching events will take place in our circuit 
in a more complex setting. Among these various switching instants there will be one that is the earliest 
instant after which we have complete information about all source functions applied to the circuit – 
this instant is customarily (though not necessarily) marked as t 
= 
0 in circuit problems. The circuit 
problem involves solving for all the circuit variables as functions of time from the first switching 
instant onwards. 
+
L
R
t 
= 0
t 
= 0
1 V
S
2
S
1
–
+
L
R
t 
= 0
1 V
S
1
–
(a)
(b)
Fig. 10.3-1 
(a) Applying unit step voltage to RL circuit (b) 1V DC switching in RL circuit
The switch S
1
in the circuit in Fig. 10.3-1 (a) is closed at t 
= 
0 and the switch S
2
is open at t 
= 
0 to 
bring about an abrupt change in the applied voltage from 0 to 1 V. If S
2
was closed from t 
= -∞
, the 
current in inductor at t 
= 
0
-
can only be zero. Whatever energy was possibly trapped in the inductor at 
t 
= -∞
would have got dissipated in the resistor by current flow through closed circuit. Hence, there is 
no need for specifying initial current in the inductor since the applied voltage is known for all t. The 
differential equation describing the circuit in Fig. 10.3-1 (a) is 
di t
dt
i t
V
L
u t
t
L
L
for all 
( )
( )
( )
.
+
=
t
(10.3.1)
The solution of the equation will give the so-called unit step response of the RL circuit. Unit Step 
function is defined from 
-∞
. Hence, the initial instant in this circuit is t
= -∞
and not t 
= 
0. All circuits 
are assumed to be relaxed at t 
= -∞
by default.
We just do not know anything about applied voltage for t < 0
-
in the circuit in Fig. 10.3-1 (b). This 
is so because voltage across an open–circuit is not decided by the open–circuit; but it is decided by the 
elements connected on the right side of open–circuit. The initial condition at t 
= 
0
-
for inductor current 
in this circuit can be zero or non-zero. Zero initial condition does not imply that no voltage was ever 
applied to inductor in the past. Rather, it means that whatever be the voltage waveform applied to the 
inductor in the past, the area under that waveform from 
-∞
to 0
-
in the time axis was zero. Similarly, 
a non-zero initial condition will imply that, some extra circuit arrangement that is not shown in the 
circuit diagram was employed to apply suitable voltage to inductor in the past in order to take its 
current to the specified value at t 
= 
0
-
. In any case, it does not matter if we are interested in the circuit 
solution only for t 
≥
0
+
.
The differential equation describing the circuit is as in the following equation:
di t
dt
i t
L
t
i
I
L
L
L
for
with
( )
( )
( )
+
=
≥
=
+
−
t
1
0
0
0
(10.3-2)

---

10.10
First-Order 
RL
Circuits
Note that Eqn. 10.3.1 cannot describe the circuit in Fig. 10.3-1 (b) even if the initial condition is 
specified as 0 A. This is so since solution of Eqn. 10.3.1 will show that the circuit current is 
= 
0 for all 
t 
≤
0
-
, 
whereas zero current specified at t 
= 
0
-
in circuit (b) does not imply that the current was zero 
for all t 
≤
0
-
. However, the circuit solution for t 
≥
0
+ 
will be the same in both circuits if I
0
= 
0 A is 
specified for the circuit in Fig. 10.3-1 (b).