Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 3.4-2
The three inductors – 0.02H, 0.05H and 0.0333H –with same initial current of 1.5A are connected in 
parallel. All the three inductors have initial current of 1.5 A from top to down at t 
=
0
-
. The applied voltage 
is v
S
(t) and has no impulse content. The total current into the parallel combination is found to be 9A in the 
same direction as the initial current at t 
=
5 ms. (i) Find the trapped energy in the parallel combination. 
(ii) Find the current through each inductor and flux linkages in them at t 
=
5 ms. (iii) The average value 
of v
S
(t) in the first 5 ms. (iv) Stored energy in the circuit and in each inductor at t 
=
5 ms. (v) Total energy 
delivered by the applied voltage source in 5 ms and average power delivered by the source over 5 ms?
Solution
The circuit containing three inductors and its equivalent circuit are shown in Fig. 3.4-3. The initial 
currents in various paths at t 
=
0
-
are marked within brackets. The initial values remain the same at 
t 
=
0
+ 
too since applied voltage has no impulse content.
i
(
t
)
i
1
(
t
)
i
2
(
t
)
i
3
(
t
)
v
S
(
t
)
L
1
L
2
L
3
(4.5 A)
(1.5 A) (1.5 A) (1.5 A)
0.02 H 0.05 H
0.0333 H
–
+
L
eq
(4.5 A)
0.01 H
i
(
t
)
v
S
(
t
)
+
–
Fig. 3.4-3 
Circuits for solving Example 3.4-2 
(i) Initial stored energy 
=
Sum of initial energy in the three inductors 
=
0.5
× 
0.1033
× 
1.5
2
=
116.21 
mJ. But the initial energy as per the equivalent circuit is 0.5
× 
0.01
× 
4.5
2
=
101.25 mJ. The 
www.TechnicalBooksPDF.com

---

3.32
Single Element Circuits
difference between these two will be the trapped energy. The total energy that is actually stored 
in the three inductors put together and the total energy storage according to equivalent circuit 
will be different by this amount at all t. Trapped energy in this circuit is 116.21 
- 
101.25 
≈
15 mJ 
(ii) i(t) at 5 ms is 9 A. Therefore, the change in current is 9 
- 
4.5 
=
4.5A. The change in current 
gets shared among the three inductors in proportion to 1/L value. Therefore, the change in total 
current gets divided in the three inductors in the ratio 50:20:30 or 5:2:3. Therefore, the change in 
current of 0.02 H 
=
4.5
× 
5/(5
+ 
2
+ 
3) 
=
2.25 A. Similarly the currents in the other two inductors 
will change by 0.9A and 1.35A, respectively. The change current in all three inductors flow in 
the same direction as the initial current. Therefore, the total current in the 0.02H 
=
1.5 
+ 
2.25 
=
3.75A, in 0.05H 
=
1.5 
+ 
0.9 
=
2.4A and in 0.0333H 
=
1.5 
+ 
1.35 
=
2.85A.
The flux linkages in the inductors at 5 ms can be worked out by multiplying i(t) by L values. 
They are 75 mWb-T in 0.02H, 120 mWb-T in 0.05H and 95 mWb-T in 0.0333H. The same values 
can be obtained by another method. The change in flux linkage will be correctly predicted by 
equivalent circuit – it will be 4.5A 
× 
0.01H 
=
45 mWb-T. This change in flux linkage is applicable 
to all the three inductors. Hence, the total flux linkages in them can be obtained by adding this 
change amount to the initial flux linkages in them. Initial flux linkages were 30 mWb-T, 75 
mWb-T and 50 mWb-T in 0.02 H, 0.05 H and 0.0333 H, respectively. Adding 45 mWb-T to each 
we get the total flux linkages as 75 mWb-T, 120 mWb-T and 95 mWb-T, respectively. 
(iii) Average value of source voltage in 5 ms 
=
(change in flux linkage of effective inductor) divided 
by 5 ms 
=
45 mWb-T/5 ms 
=
45 mV-s/5 ms 
=
9V.
(iv) Stored energy in the 0.02H inductor at 5 ms 
=
0.5 
× 
0.02
× 
3.75
2
=
140.63 mJ. Corresponding 
values for 0.05H and 0.0333H are 144 mJ and 135.24 mJ, respectively. 
Total stored energy at 5 ms 
=
140.63
+ 
144
+ 
135.24 
≈
420 mJ.
We can get the same results by another method. The change in total stored energy will be 
predicted correctly by the equivalent circuit. This value is (0.5
× 
0.01
× 
9
2
-
0.5
× 
0.01
× 
4.5
2
) 
=
303.75 mJ. Adding the change to initial stored energy of 116.21 mJ, we get the total stored energy 
in the system at 5 ms as 
≈
420 mJ.The equivalent circuit predicts the total energy to be 0.5
× 
0.01
× 
9
2
=
405 mJ. Notice that this is less than the actual total stored energy of 
≈
420 mJ by 
≈
15 mJ, 
which is the amount of trapped energy in the system as we have seen before.
(v) Total energy delivered by v
S
(t) in 5 ms 
=
change in total stored energy 
=
303.75 mJ. Average 
power delivered by voltage source during first 5 ms 
=
303.75mJ/5 ms 
=
60.75 W