Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

13.2 
expansIon of a sIgnal In terms of complex exponentIal functIons
The set of 
e
st
format signals for all possible values of 
s
and can be represented as a collection of points 
in a two-dimensional space. The horizontal axis of this plane represents the real part of 
s
and the vertical 
axis represents the imaginary part of 
s
. Then a point 
s
= 
s
 
+ 
j
w
in this plane will stand for a signal 
e
st
= 
e
(
s
+ 
j
w
)
t
= 
e
s
t
e
j
w
t
. Such a point which acts as a stand-in for a complex exponential signal is called 
a 
signal point
. The complex number representing that point 
i.e.,
s,
is called the 
complex frequency 
of 
the signal 
e
st
. The real part of 
s
has nepers/s as its unit and the imaginary part has radians/s as its unit. 
Collection of all such signal points 
- 
i.e.,
the plane – is called the 
signal plane 
or 
signal space
. The 
same space is also called the 
s-domain
in circuit studies. The shape of signal for various signal point 
locations in 
s-plane
is shown in Fig. 13.2-1.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fig. 13.2-1 
Signal point in 
s
-domain versus signal shape
Let 
v
(
t
) 
= 
f 
(
t
) 
u
(
t
) (
i.e.,
right side of some function that is possibly two-sided) and |
v
(
t
)| < 
Me
a
t
for 
some 
M
and 
a
, then 
V s
v t e dt
st
( )
( )
=
−
∞
−
∫
0
is its Laplace transform, where 
s
= 
s
+ 
j
w
is the general 
complex frequency with 
s
≥
a
. The Laplace transform exists and the inverse integral converges to 
v
(
t
) 
only for those values of 
s
that have Re(
s
) > 
a
. The region formed by all those values of 
s
in the 
s
-plane 
for which the Laplace transform of a time-function is defined and is convergent is called the region 
of convergence (ROC) of the Laplace transform. 
Obviously the ROC of Laplace transform of a right-
sided function is the region to the right of Re
(
s
)
 
= 
a
 line.
This is a vertical straight line parallel to 
j
w
axis and crossing 
s
-axis at 
a
. 
v(t)
j
V s e ds
st
s
=
=
∫
1
2
p
s
( )
Re( )
on
line

---

Expansion of a Signal in terms of Complex Exponential Functions 
13.5
The time-function can be obtained from its Laplace transform by carrying out the inversion integral 
given below.
The Laplace transform defined this way returns the right-side of the underlying function 
f 
(
t
) on 
inversion. The left-side returned will be zero. In this sense, this Laplace transform may be termed as a 
unilateral Laplace transform
. We deal with only unilateral Laplace transform in this chapter.
Note that the evaluation of inversion integral has to be performed on a line parallel to 
j
w
-axis in 
s
-plane with the line crossing the 
s
-axis within the ROC of the Laplace transform.
Let 
v 
(
t
) be a right-sided function that is bounded by 
Me 
a
t
with some finite value of 
M
and 
a
. 
Then the Laplace transform pair is defined as
V s
v t e dt
st
( )
( )
=
−
−
∞
−
∫
0
The Analysis Equation
(13.2-1)
v t
j
V s e ds
st
j
j
( )
( )
=
− ∞
+ ∞
∫
1
2
p
s
s
–
The Synthesis Equation
(13.2-2)
where 
s
= 
s
+ 
j
w
is the complex frequency variable standing for the complex exponential 
function 
e
st
with 
s
≥
a
. The ROC of 
V 
(
s
) is the entire plane to the right of Re(
s
) 
= 
a
line.