Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

example: 3.5-5
The switch S in the circuit in Fig. 3.5-7 (a) is ideal and the capacitor is initially uncharged. The switch 
S is closed at t 
= 
0. (i) What is the current delivered by the source? (ii) Express the voltage across 
capacitor as a function of time. (iii) What is the energy delivered by the voltage source? (iv) What is 
the energy stored in the capacitor? (v) Are the two energy values equal? If not, what happens to the 
mismatch energy?
(b)
C
R
sh
L
se
R
se
100 V
S
(a)
+
+
–
–
C
= 1000 
µ
F
Fig. 3.5-7 
(a) Circuit for Example 3.5-5 (b) A more accurate model for a capacitor 
Solution
(i) The voltage across the capacitor has to change instantaneously in this circuit since KVL has to be 
obeyed at t 
=
0
+ 
. But instantaneous change in capacitor voltage will require an impulse current 

---

3.40
Single Element Circuits
with an area content equal to the change in charge required. The change in stored charge required 
here is 100V 
× 
1000
m
F 
=
100mC. Therefore, the current that flows in the circuit will be 0.1
d
(t).
(ii) The voltage across capacitor was zero till t 
=
0
-
. It will be 100V at and after t 
=
0
+ 
. It is 
discontinuous at t 
=
0. 
v t
t
undefined
t
t
C
( )
=
=
=
≥





−
+
0
0
0
100
0
for
for 
for
We will be tempted to write this as v
C
(t) 
=
100 u(t) where u(t) is the unit step function. But we 
do not know the capacitor voltage before t 
=
0
-
. So we can not express it that way. 
(iii) Energy delivered by the source 
=
Voltage 
× 
Charge transported across the voltage 
=
100V 
× 
0.1C 
=
10 J. It can also be calculated as the area under the power waveform. The power delivered as a 
function of time is 100 
× 
0.1 
d
(t) 
=
10
d
(t). Area under this waveform is 10 J. 
(iv) Energy stored in the capacitor 
=
0.5 
× 
0.001F 
× 
(100V)
2
=
5 J.
(v) Energy delivered by the source and energy stored in the capacitor are not equal. The source delivered 
5J extra. This is a circuit in which the ‘capacitance’ model for a physical capacitor is not adequate. A 
physical capacitor is a physical device that is represented by the mathematical model of ‘capacitance’. 
This model is only a first level model that ignores the second level details of the physical device. Any 
electrical element will have all the three effects – resistance, capacitance and inductance – involved 
in it. Therefore, a capacitor has resistance and inductance associated with it. The resistance of metal 
foil used in the capacitor and the resistance of connecting leads contribute a series resistor to the 
model of capacitor. Leakage of current through the imperfect insulator used as the dielectric in the 
capacitor contributes a shunt resistor in the second level model for a capacitor. And the magnetic 
flux produced within the capacitor when current flows in its leads and foil contribute an inductance 
too. Thus a more accurate model for a physical capacitor is as shown in Fig. 3.5-7 (b). R
se 
is usually 
in m 
W
range, R
sh 
is usually in k 
W
– M 
W
range and L
se 
is in nH – 
m
H range.
We will see in a later chapter that this more detailed model will predict transient currents and 
voltages which oscillate at a high frequency when a DC voltage is suddenly switched on to an 
uncharged capacitor. The two resistors that are invariably present in any physical capacitor will take 
care of the extra energy delivered by the voltage source – they dissipate it.