Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

13.9.2 
Is 
s
-domain equivalent circuit completely equivalent to original circuit?
No, it is not. It is equivalent to the original circuit only for t 
≥
 
0
+
.
Given a non-zero initial value for current at 
t
= 
0
-
in an inductor we have two ways of taking 
that into account when we try to solve the circuit for 
t
≥
0
+ 
. We may adopt the view that unknown 
voltage was applied across the inductor in the past which resulted in this initial current. We accept the 
possibility of other circuit elements that were switched out at 
t
= 
0. We can solve for the current for 
t
≥
0
+ 
using this initial condition and the known input function. However, we will specify the range of 
applicability of the circuit solution as 
t
≥
0
+ 
specifically.

---

Total Response of Circuits Using 
s 
-Domain Equivalent Circuit 
13.31
The second view that we may adopt is that the inductor current was zero at 
t
= 
0
-
; but an impulse 
voltage of 
LI
0
V-s was applied in series with the inductor with suitable polarity. This view will explain 
the initial current in the inductor becoming 
I
0
though it was taken to be zero at 
t
= 
0
-
. Hence, the circuit 
solution will be the same as the one we obtained by adopting the first point of view.
However, in the second point of view, we are fixing the voltage applied to the inductor in the past 
at zero value (since the impulse voltage is zero valued for 
t
< 0
-
). Thus, we are assuming that the 
circuit was the same from 
t
= -∞
onwards, no sources were active in it till 
t 
= 
0
-
and some impulse 
sources acted at 
t
= 
0 to change the initial energy storage in some elements abruptly. Thus, the circuit 
and the sources active in the circuit are completely known from 
t
= -∞
onwards in this point of view. 
Therefore, the circuit solution is valid from 
t
= -∞
. In fact, the solution will be zero for (
-∞
, 0
-
]. This 
is usually denoted by multiplying all time-functions that appear in the circuit solution by 
u
(
t
). The 
solution will be correct for all 
t
as far as the fictitious circuit that we assumed in this point of view is 
concerned. However, that is not the actual circuit that we wanted to solve. The actual circuit that we 
wanted to solve is the one we described under first point of view. Therefore, time-functions multiplied 
by 
u
(
t
) cannot be the solution in the actual circuit. We cannot solve the actual circuit for 
t
< 0
-
since 
the input is really unknown in this time-range. Therefore, only the right side of the solution arrived 
at from the fictitious circuit, that takes into account initial conditions by bringing in impulse sources, 
should be accepted as the solution for the actual circuit. Hence, the circuit solution should be specified 
as time-functions with the range of applicability specified as 
t
≥
0
+
. The solution for 
t
< 0
-
is left 
unspecified. It is understood that the circuit cannot be solved for 
t
< 0
-
with the given data.
s-
Domain equivalent of a circuit uses the second point of view described above. Hence, it is 
equivalent to the circuit only for 
t
≥
0
+
. Circuit solution from 
s
-domain equivalent circuit is obtained 
by inverting Laplace Transforms. That will yield time-functions multiplied by 
u
(
t
). We have to replace 
u
(
t
) by ‘
for t 
≥
 0
+
’ before we accept the solution from 
s
-domain equivalent circuit as the solution for 
actual time-domain circuit.
However, in practice, this step is skipped often and the solution is left in the ‘
time-function x u
(
t
)’ 
format itself. This does not lead to errors in practice since we are usually interested in circuit variables 
for 
t
≥
0
+ 
only. However, in the strict sense, it is a bad practice.