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s
V
L
(
s
)
sL
Fig. 13.9-1 
s
-Domain equivalent circuits for an inductor
Note that we use the same graphic symbol for inductor in 
s
-domain as the one we used in time-
domain. This will be the case with all other circuit elements too.
A capacitor 
C
is described by the time-domain element equation 
i t
C
di t
dt
C
C
( )
( )
=
, where 
v
C
(
t
) and 
i
C
(
t
) 
are its voltage and current variables as per passive sign convention. Applying Laplace transformation on 
both sides of this element equation, we get 
I s
sCV s
Cv
C
C
C
( )
( )
(
)
=
−
−
0
where 
v
C
(
)
0
-
is the initial voltage 
across the capacitor at 
t
= 
0
-
. The Laplace transform 
Cv
C
(
)
0
-
represents an impulse current 
Cv
C
(
)
0
-
d
(
t
) 
in time-domain and hence it is consistent with the fact that a non-zero initial condition in a capacitor can 
be replaced with an impulse current source in parallel with the capacitor. This
s
-domain equation for a 
capacitor suggests the following 
s
-domain equivalent circuit shown in Fig. 13.9-2 (a) for a capacitor with 
sC
as its 
s
-domain admittance function. The second equivalent circuit shown in Fig. 13.9-2 (b) follows 
from 
V s
I s
sC
v
s
C
C
C
( )
( )
(
)
=
+
−
0
and indicates the fact that the 
s
-domain impedance of a capacitor is 1/
sC
and 
that non-zero initial condition in a capacitor can be replaced with a step voltage source in series with it.
–
(a)
+
Cv
c
(0
–
)
V
c
(
s
)
I
c
(
s
)
sCV
c
(
s
)
1
sC
(b)
+
+
+
–
– –
V
c
(
s
)
I
c
(
s
)
1
sC
I
c
(
s
)
sC
Cv
c
(0
–
)
s
Fig. 13.9-2 
s
-Domain equivalent circuits for a capacitor

---

13.30
Analysis of Dynamic Circuits by Laplace Transforms
s
-domain impedance is assigned the unit of 
W
(ohms) and 
s
-domain admittance is assigned the unit 
of 
S
(Siemens).
Now we can construct the 
s-domain equivalent circuit 
for a circuit in time-domain by replacing 
all sources by their Laplace transforms and replacing all other circuit elements by their 
s
-domain 
equivalents. The resulting equivalent circuit will have Laplace transforms of voltages and Laplace 
transforms of currents as the circuit variables instead of the time-domain variables. Each energy 
storage element will result in an extra independent source representing its initial condition in 
s
-domain 
equivalent circuit.
Applying KVL and KCL in this circuit will result in 
algebraic equations involving Laplace 
transforms of voltages and currents, respectively.
Thus the problem of solving a coupled set of 
integro-differential equations involving functions of time in the time-domain circuit is translated to 
solving a coupled set of algebraic equations involving Laplace transforms of variables in the
s
-domain 
equivalent circuit. The time-functions may be determined by inverting the Laplace transforms after 
they are obtained.
Transforming a time-domain circuit into an
s
-domain circuit makes it similar to a memoryless 
circuit with DC excitation since both are described by algebraic equations. Thus, all concepts and 
techniques developed in the context of analysis of memoryless circuits (and used later in the analysis 
of phasor equivalent circuits under sinusoidal steady-state) will be directly applicable in the analysis 
of 
s
-domain equivalent circuits too.
In particular, (i) the concepts of series and parallel equivalent impedances apply without modification 
(ii) the concepts of input resistance (
i.e.,
driving-point resistance) and input conductance (
i.e.,
driving-
point conductance) apply without modification except that it is ‘
input impedance function Z
i
(
s
)’ and 
‘
input admittance function Y
i
(
s
)’ in the case of 
s
-domain circuits.
Moreover, the techniques of nodal analysis and mesh analysis can be applied in 
s
-domain circuits. 
All the circuit theorems, except maximum power transfer theorem, can be applied in the context of 
s
-domain equivalent circuits.
However, Laplace transform of instantaneous power is not equal to product of Laplace transforms 
of voltage and current.
In fact, the 
s
-domain convolution of 
V
(
s
) and 
I
(
s
) gives the Laplace transform 
of 
p
(
t
) 
= 
v
(
t
) 
i
(
t
). Therefore, dealing with power and energy variables in the 
s
-domain is better avoided. 
They are better dealt with in time-domain itself.
We observe that the 
s
-domain equivalent circuit makes use of the stated initial values of inductor 
currents and capacitor voltages right at the start. The 
s
-domain equivalent circuit takes care of these 
initial values in the form of additional source transforms. Therefore, the circuit solution arrived at 
by the analysis of 
s
-domain equivalent circuit will contain both zero-input response components 
and zero-state response components in one step. Thus, Laplace transform technique yields the total 
response in a single-step solution process.