Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.8.2 
Zero-State response for Sinusoidal Input
The input function in this case is v
S
(t) 
= 
sin
w
t u(t) V. We can get sinusoidal zero-state response for 
sinusoidal input by two methods. In the first method, we use the result in Eqn. 10.8-4 with s 
= 
j
w
t and 
take the imaginary part of the result as our desired solution.
∴
=
+
−




≥
=
−
+
−
+
i t
j L R
e
e
t
R
j L
L
R
j t
t
L
) for
( )
Im
(
Im
(
)
/
1
0
2
w
w
w
w
t
22
0
( cos
sin
sin
cos
/
w
w
w
w
w
t
t
e
j
t
t
R
t
L
t
t
−
+
{
}




≥
=
−
(
)
+
−
+
)
for
w
w
w
f
w
f
w
t
L e
L
R
t
L
R
R
R
L
t
−
+
+
≥
=
=
+
/
(
)
.
(
2
2
2
0
for
Let
tan
Then cos 
1
−
))
(
)
.
( )
sin
cos
cos
sin
sin
2
2
2
and sin 
L
f
w
w
w
f
w
f
=
+
∴
=
−
(
)
+
L
R
L
i t
t
t
ff
w
w
w
f
f
t
t
.
(
)
(
)
sin (
) sin .
/
/
e
R
L
t
R
L
t
e
t
t
−
+
−
+
≥
=
+
− +
(
)
2
2
2
2
0
1
for
foor
t
≥
+
0
(10.8-8)
In the second method, we represent the input sine wave by combining two complex exponential 
functions by using Euler’s identity as below.
sin
w
w
w
t
e
e
j
j t
j t
=
−
−
2

---

10.46
First-Order 
RL
Circuits
Then, we get the zero-state response for the two exponential inputs separately and use superposition 
principle to arrive at the solution for sinusoidal input. 
∴
=
+
−
−
−
−




−
−
−
i t
j R
j L
e
e
R
j L
e
e
j t
t
j t
t
L
)
) for
( )
(
(
/
/
1
2
1
1
w
w
w
t
w
t
t
j
R
j L
R
j L
e
e
R
j L
e
R
j L
t
j t
j t
≥
=
+
+
−






+
+
−
−


+
−
−
0
1
2
1
1
w
w
w
w
t
w
w
/








≥
=
−
(
)
+
+
( )
+
−
for
for 
t
R
t
L
t
L e
R
L
t
0
2
2
sin
cos
/
w
w
w
w
w
t
for
L
t
i t
t
t
e
R
L
t
≥
∴
=
−
(
)
+
+
( )
+
−
0
2
2
( )
sin
cos
cos
sin
sin .
/
w
f
w
f
f
w
t
tt
R
L
t
e
t
t
≥
=
+
( )
− +
(
)
≥
+
−
+
0
1
0
2
2
w
w
f
f
t
sin(
) sin .
/
for
(10.8-9)
The angle 
f
in Eqn. 10.8-9 is defined the same way as in Eqn. 10.8-8. Both methods lead to same 
expression for the final response, as they should. The final expression may be recast in the following 
form where k 
= 
wt
and the current and time are normalised with respect to 1/R and 
t
, respectively.
i t
k
k t
k
k
k
e t
k
n
n
Ln
( )
sin(
tan
)
;
=
+
−
+
+




=
−
−
1
1
1
2
1
2
wt
(10.8-10)
This waveform for a case with k 
= 
4 is shown in Fig. 10.8-2. The number k can be interpreted as a 
comparison between the characteristic time, i.e., the period of the applied voltage and the characteristic 
time of the circuit, i.e., its time constant. k can be expressed as 2
p
(
t
/T) where T is the period of input. 
Sinusoids undergo a full cycle of variation in one T and hence the value of T is indicative of the rate 
of change involved in the waveform, i.e., the speed of the waveform. Time constant is a measure of 
inertia in the system. Therefore, an input sinusoid is too fast for a circuit to follow if its T is smaller 
than the time constant 
t
of the circuit. Similarly, if input sinusoid has a T value much larger than time 
constant of the circuit, the circuit will perceive it as a very slow waveform and will respond almost the 
same way it does to DC input. These aspects are clearly brought out in Eqn. 10.8-10. 
1
t
/
τ
t
/
τ
0.5
–0.5
1
1
2
3
4
2
Applied voltage Circuit current
Forced response part
Total current
Transient part
(a)
(b)
3
4
–1
–0.3
–0.2
–0.1
0.1
0.2
0.3
Fig. 10.8-2 
Unit sinusoidal response of 
RL
circuit with 
k
= 
4

---

Series 
RL
Circuit with Exponential Inputs 
10.47
The amplitude of forced response component, or equivalently, the amplitude of sinusoidal steady-
state response, is a strong function of k. The amplitude decreases with increasing 
w
 or increasing 
t
. 
In addition, the steady-state current lags the applied voltage by a phase angle that increases with 
wt
. 
Let us imagine that we conduct an experiment. We apply a sinusoidal voltage of 1V amplitude to 
a series RL circuit and wait for enough time for the transient response to die down. After steady state 
is satisfactorily established in the circuit, we measure the amplitude of current and its phase with 
respect to the input sine wave. We repeat this process for various values of frequency of input, keeping 
its amplitude at 1V always. We ensure that the circuit is in steady-state before we measure the output 
every time.
The data so obtained can be plotted to show the variation of ratio of output amplitude to input 
amplitude and phase of steady-state current against k (
= 
wt
). Such a pair of plots will constitute what 
is called the AC steady-state frequency response plots for this RL circuit. The ratio of output amplitude 
to input amplitude is called gain of the circuit. Its dimension will depend on the nature of input and 
output quantities. If we define a complex function 
of 
w
with the magnitude of function equal to the 
gain described here and angle of the function equal 
to the phase angle by which the steady-state output 
leads the sinusoidal input, the resulting function 
will be what we termed the frequency response 
function H(j
w
) we described in Chapter 9.
Such an experiment can be performed on any 
circuit to get its frequency response data. However, 
if the differential equation of the circuit is known we 
need not do the experiment. The frequency response 
plots can be obtained analytically in that case. The 
frequency response of the series RL circuit is shown 
in Fig. 10.8-3 as an example. 
We make the following observations on the 
sinusoidal steady-state response of series RL circuit 
from Eqn. 10.8-10 and Fig. 10.8-3.
• The circuit current under sinusoidal steady-state response is a sinusoid at the same angular 
frequency 
w
rad/s as that of input sinusoid.
• The circuit current initially is a mixture of an exponentially decaying unidirectional transient 
component along with the steady-state sinusoidal component. This unidirectional transient imparts 
an offset to the circuit current during the initial period.
• The circuit current at its first peak can go close to twice its steady-state amplitude in the case of 
circuits with 
wt
>> 1 due to this offset.
• The amplitude of sinusoidal steady-state response is always less than corresponding amplitude 
when DC input of same amplitude is applied. This is due to the inductive inertia of the circuit. The 
amplitude depends on the product 
wt
and decreases monotonically with the 
wt
product for fixed 
input amplitude.
• The response sinusoid lags behind the input sinusoid under steady-state conditions by a phase 
angle that increases monotonically with the product 
wt
.
• The frequency at which the circuit gain becomes 1/
√
2 times that of DC gain is termed as cut-off 
frequency and since this takes place as we go up in frequency it is called upper cut-off frequency. 
Fig. 10.8-3 
Frequency response plots 
for series 
RL
circuit
–1.5
–1
Phase
(rad)
Gain
–0.5
1
2
3
4 5 k
0.5
0.707
1
(–45°)
4
π
2
π
√
2
1

---

10.48
First-Order 
RL
Circuits
Upper cut-off frequency of series RL circuit is seen to be at 
w
= 
1/
t
 rad/s. The phase delay at this 
frequency will be – 45
°
.
• Circuit current amplitude becomes very small at high frequencies (
wt
>> 1) and the current lags 
the input voltage by 
≈
90
°
at such frequencies. 
We assumed that the applied voltage is v
S
(t) 
= 
sin
w
t u(t) throughout this analysis. This means 
that the sinusoidal voltage happened to be crossing the time-axis exactly at the instant at which we 
closed the switch to apply it to the circuit. Though technically it is possible to do such switching (it is 
done in some applications that way), that is not the way it takes place in many practical applications. 
The sinusoid may be at any value between its maximum and minimum when we throw the switch. 
Therefore, we must analyse the response with v
S
(t) 
= 
sin (
w
t 
+ 
q
)u(t) for an arbitrary 
q
.
The function sin (
w
t 
+ 
q
) is the imaginary part of e
j(
w
t 
+ 
q
)
= 
cos (
w
t 
+ 
q
) 
+ 
j sin (
w
t 
+ 
q
). The zero-
state response when e
st
is applied to the circuit is given by Eqn. 10.8-4. So, shall we substitute s 
= 
j 
(
w
 
+ 
q
) in Eqn. 10.8-4 to get the required output? No, that will be wrong since it is only 
w
that gets 
multiplied by t, not 
q
. We should (i) interpret e
j(
w
t 
+ 
q
)
as e
j
q
e
j
w
t
, (ii) solve for the zero-state response 
for e
j
w
t
, (iii) multiply the response by e
j
q
(we apply principle of homogeneity there) and (iv) take the 
imaginary part. We skip all that basic algebra and give the result below.
i t
R
L
t
e
t
t
L
for
( )
sin(
) sin(
).
/
=
+
( )
+ − +
−
(
)
≥
−
+
1
0
2
2
w
w
q f
f q
t
(10.8-11)
By substituting 
q
= 
90
°
, we get the solution for v
S
(t) 
= 
cos
w
 t u(t) as
i t
R
L
t
e
t
t
L
for
( )
cos(
) cos .
/
=
+
( )
− −
(
)
≥
−
+
1
0
2
2
w
w
f
f
t
(10.8-12)
Eqn. 10.8-11 indicates that it is possible to switch on an AC voltage to an initially relaxed series RL 
circuit in such a way that there is no transient response and circuit immediately goes to steady state – 
the switching instant must be such that 
q
= 
f
. This principle is used sometimes in switching of heavily 
inductive power equipment. In such cases, the angle 
f
is close to 90
°
and transient-free switching is 
possible if the voltage is switched on to the equipment at positive or negative peak.