Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

Note that the sinusoidal steady-state response part of zero-state response in all the above cases 
could have been readily obtained by employing phasor method we studied in earlier chapters.
10.9 
General analySIS procedure For SInGle tIme conStant 
RL
 cIrcuItS
We have analysed the simple series RL circuit exhaustively. We would like to arrive at a generalised 
procedure for analysis of RL circuits that may contain more than one resistor. The circuit may also 
contain more than one inductor; but in that case we assume that the inductors will enter in series or 
parallel combinations and can be finally be replaced by a single inductor. If that is not possible, the 
circuit will have more than one time constant and we cannot handle it by the method we develop here.
A circuit with a single energy storage element can have only first-order dynamics and 
only one time constant. A circuit with only one time constant can have only one term in 
its natural response for any circuit variable. That term is of the form 
Ae
-
t/
t
where 
A 
is to 
be adjusted for compliance with 
initial condition at t 
= 
0
+ 
for that particular circuit variable
. 

---

General Analysis Procedure for Single Time Constant 
RL
Circuits 
10.49
The single time constant that describes the natural response of the circuit is a property of circuit 
alone and does not depend on source function values. Therefore, it can be found from the dead 
circuit obtained by deactivating all independent sources. We get the dead circuit by replacing all 
independent voltage sources by short-circuits and all independent current sources by open circuits. 
Now, that circuit will contain only one inductor and possibly many resistors (and dependent sources, 
if they were present in the original circuit). We can find the equivalent resistance connected across the 
inductor by series/parallel combinations and by star-delta transformation if necessary. If the circuit 
contains linear dependent sources we may have employ unit current injection method or unit voltage 
application method detailed in Chapter 5 to find the equivalent resistance across inductor. Once we get 
this resistance, we can find time constant by 
t
= 
L/R
eq
. 
Next step is to check whether there are impulse sources in the circuit. If there are, the amount of 
V-s dumped on the inductor at t 
= 
0 has to be evaluated and the change in inductor current at t 
= 
0 has 
to be found out. This change in current added to the initial condition specified at t 
= 
0
-
will give us the 
value of inductor current at t 
= 
0
+
.
But we need the initial condition for the particular circuit variable 
we are solving for. Therefore, we have to carry out a DC circuit analysis at t 
= 
0
+ 
in which the inductor 
is replaced by a DC current source of value equal to its current at t 
= 
0
+ 
and all the independent sources 
are replaced by DC sources (if they are not DC sources already) of value equal to their values at t 
= 
0
+
.
Solving the resulting circuit will give us the initial condition for the particular circuit variable of interest.
In the third step, we work out the forced response for all independent sources in the circuit. Since 
the circuit has a steady-state for DC and AC, we use steady-state analysis for this. In particular, if the 
sources are DC sources, we replace inductor by short-circuit and solve the resulting resistive circuit 
for the variable of interest. We may use superposition principle along with mesh or node analysis for 
this purpose. We employ phasor analysis to solve for steady-state if there are AC sources. The steady-
state solution for all the independent sources are added up.
We add the total steady-state solution to the natural response, apply the initial condition for the 
relevant variable and evaluate the arbitrary constant in the natural response term in the last step. We 
can also use the zero-input response plus zero-state response method instead of transient response 
plus forced response method. These methods are illustrated through a set of examples that follow.