Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

10.1 
the SerIeS 
RL
 cIrcuIt
The series RL circuit with all circuit variables identified as per passive sign convention is shown in Fig. 
10.1-1. Unit step voltage applied to the circuit appears in the same figure. The circuit contains three 
two-terminal elements. Each two-terminal element is associated with two variables – a voltage variable 
and a current variable. We use passive sign convention and in passive sign convention the positive 
current enters the element at the positive of voltage variable assigned to the element. Thus, v
L
and i
L
are the voltage and current variables of the inductor as per passive sign convention. The corresponding 
variables for the remaining two elements are shown in Fig. 10.1-1. All these six variables are functions 
of time though the dependence on time is not explicitly marked.
+
(a)
–
+
+
L
R
v
R
v
S
v
L
i
R
i
L
i
S
–
–
(b)
1 V
u
(
t
)
t
Fig. 10.1-1 
(a) The series 
RL
circuit (b) Unit step voltage waveform
10.1.1 
the Series 
RL
 circuit equations
The analysis of this circuit aims at solving for all these six variables as functions of time. The circuit 
has three nodes. The three elements are in series and they will have a common current through them 
and hence the following equation is valid at all t:
 
i
L
(t) 
= 
i
R
(t) 
= - 
i
S
(t) 
The circuit has one mesh and it has to satisfy KVL at all t in this mesh. Applying KVL in this mesh 
will give us an equation tying up the three voltage variables 
- 
v
S
, v
R
and v
L
- 
and thereby reducing the 
number of independent variables among the three to two. The relevant KVL equation is 

---

The Series 
RL
Circuit 
10.3
- 
v
S
(t) 
+ 
v
R
(t) 
+ 
v
L
(t) 
= 
0 for all t
\
v
R
(t) 
= 
v
S
(t) 
- 
v
L
(t) for all t
Thus, we have eliminated v
R
by expressing it as the difference between the other two voltage 
variables v
S
and v
L
. v
S
is a source function – it is the time function representing the voltage waveform 
of an independent source and hence it is a known function. Therefore, there is only one voltage variable 
and we choose that to be v
L
.
Now, we have two variables 
- 
v
L
and i
L
. We also have the element equations of inductor and resistor 
to tie them up and get a single equation in i
L
as follows.
v
Ri
Ri
v
L
di
dt
v
v
v
L
di
dt
L
R
R
L
L
L
L
R
S
and
by KVL in the mesh
=
=
=
+
=
∴
+
R
Ri
v
t
i e
di
dt
R
L
i
L
v
t
L
L
S
L
S
for all
for all
=
+
=
. .
1
Thus, a first-order linear differential equation with constant coefficients describes the behaviour of 
current in a series RL circuit for all time t. The order of a differential equation is the degree of highest 
derivative appearing in the equation and it is one in this equation. The differential equation is linear 
since all derivatives of the unknown function i
L
and the function i
L
itself appear in the equation with 
an exponent of unity, the three coefficients in the three terms in the equation are not functions of i
L
and the forcing function on the right-hand side of the equation is a function of time only and is not 
dependent on the unknown function i
L
in any way. R and L are circuit parameters that are assumed to 
be constants. Therefore, the coefficients of differential equation turn out to be constants.