Copyright 20 13 Dorling Kindersley (India) Pvt. Ltd

v
v
(
)
and the solution is v
1
=
2V and v
2
=
1V.
Now, the voltages across all the resistors and the current sources may be found by inspection. 
Similarly, the currents through resistors can be found by applying Ohm’s law to them. Currents through 
Fig. 4.3-2 
Circuit in Fig. 4.3-1 
with all independent 
sources deactivated
1
2
v
1
v
2
3
R
2
1 
Ω
1 
Ω
0.5 
Ω
R
1
R
4
R
5
R
3
R
6
0.2 
Ω
0.5 
Ω
0.2 
Ω
R

---

Nodal Analysis of Circuits Containing Independent Voltage Sources 
4.11
current sources are already known. What remains is the current in the voltage source. An extra step 
has to be carried out for finding out the current in V
1
. This is the price that the voltage source demands 
from us for fixing the node-3 potential for us!
The extra step involves applying KCL at node-3. Note that we did not use the KCL equation at 
node-3 in the process of solving for node voltage variables. We use it now. All the other currents 
leaving or entering node-3 are known. Only the current through V
1
is unknown. Hence, it can be found.
G V
v
G V
v
G V
I
i
V
3
1
1
5
1
2
6 1
3
1
0
2 3
(
)
(
)
(
−
+
−
+
− + =
−
Substituting values,
22
2 3 1
5 3 15
0
6
1
1
)
(
)
+
− + × − + =
∴ = −
i
i
V
V
A
Note that the trivial element, R
6
, is accounted now. Thus, the current in the 3V source is –6A into 
the positive terminal, i.e., 6 A out of the positive terminal. Fig. 4.3-3 shows the complete solution of 
the circuit.
I
2
I
3
R
1
0.2 
Ω
R
2
R
5
R
6
1 
Ω
0.5 
Ω
R
3
0.5 
Ω
0.2 
Ω
R
4
1 
Ω
4 A
6 A
3 V
15 A
–11 A
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
I
1
2 V
9 A
1 A
15 A
2 V
V
1
1 V
3 V
10 A
1 A
1 V
1 V
2 A
2 V
0 V
1 V
3 V
Fig. 4.3-3 
Complete solution for the circuit in Fig. 4.3-1
Next, we consider a case in which an independent voltage source appears across two nodes other 
than the reference node. See the circuit in Fig. 4.3-4.
I
1
I
2
I
3
R
1
R
0.2 
Ω
R
2
R
5
R
3
R
4
R
6
v
1
v
2
1 
Ω
0.5 
Ω
0.5 
Ω
0.2 
Ω
1 
Ω
9 A
10 A
2 V
V
1
i
V1
–17 A
1
2
3
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
Fig. 4.3-4 
Circuit with an independent voltage source across two nodes
The independent voltage source V
1
constrains the voltage at node-3 to be above the voltage at 
node-2 by V
1 
V. If we know one of them, we can find the other. Hence, only one of them – either v
2

---

4.12
Nodal Analysis and Mesh Analysis of Memoryless Circuits
or v
3
– needs be assigned. Node-1 is not constrained in any way and hence needs to be assigned a 
node voltage variable. Hence, v
1
and v
2
are assigned as shown. It could have been v
1
and v
3
with no 
difference to the final solution. Thus, here too, we find that an independent voltage source imposes a 
constraint on node voltage variables and reduces the number of node voltage variable by one.
We write the KCL equation (or node equation) at all the nodes except at reference node. We make 
use of the constraint equation v
3
=
v
2
+
V
1
wherever we need v
3
in the process of writing node equations 
at node-1 and node-2.
The resulting equations are
Node 1
Node 2
−
+
−
+
− −
=
−
+
−
−
G v
G v
v
G v
v
V
I
G v
G v
v
G
1 1
2
1
2
3
1
2
1
1
4 2
2
2
1
(
)
(
)
(
)
55 1
2
3
6
2
1
3
2
1
1
5 1
3
1
1
V
i
I
I
G v
V
G v
V
v
G V
i
I
V
V
− = − −
−
+
+
+ −
+
+ =
Node 3
(
)
(
)
We get rid of 
i
V
1
> by adding the last two equations and end up with two equations in two unknowns.
Node 1
Node 2 Node 3
−
+
−
+
− −
=
− +
−
+
G v
G v
v
G v
v
V
I
G v
G v
1 1
2
1
2
3
1
2
1
1
4 2
2
(
)
(
)
(
22
1
6
2
1
3
2
1
1
2
−
+
+
+
+ −
= −
v
G v
V
G v
V
v
I
)
(
)
(
)
(4.3-3)
Note that the resistor R
5
and current source I
3
which are directly across the voltage source disappear 
from the equations. They become trivial elements. They do not affect the node voltages and hence 
voltage and current of other elements. They affect only the current through the voltage source.
The Eqn. 4.3-3 can be expressed in matrix form as
(
)
(
)
(
)
(
)
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
v
v
G
1
2
3
2
3
2
3
2
3
4
6
1
2
3
+
+
−
+
−
+
+
+
+











 =
V
V
I
G
G V
I
1
1
6
3
1
2
+
−
+
−






(
)
=
−
−
+


















1
0
0
1
0
0
3
6
3
1
2
3
1
G
G
G
I
I
I
V
(
)
The matrix equation has come out in the form of 
YV
=
CU
 
again. We note that the 
Y
matrix is 
symmetric. Moreover, the 
Y
-matrix can be obtained from the deactivated circuit as in the earlier case.
Substituting values for conductances and the source functions, we get,
8
3
3
9
9 2 2
17
7 2
13
3
1
2
−
−











 =
+ ×
− −
− ×





 =






v
v
(
)
The solution is v
1
=
2V and v
2
=
1V. The current through the voltage source can be obtained by 
applying KCL at node-2 or node-3. Using node-3,
G v
V
G v
V
v
G V
i
I
i
V
V
6
2
1
3
2
1
1
5 1
3
1
1
5 1 2
2 1 2 2
2 2
(
)
(
)
(
)
(
)
+
+
+ −
+
+ =
+ +
+ − + × + =
110
11
1
⇒
= −
i
V
A
Note that the trivial elements R
5 
and I
3
came back in this equation. The complete solution is shown 
in Fig. 4.3-5.

---

Nodal Analysis of Circuits Containing Independent Voltage Sources 
4.13
I
1
I
2
I
3
R
1
0.2 
Ω
R
2
R
5
R
3
R
4
R
6
1 
Ω
0.5 
Ω
0.5 
Ω
0.2 
Ω
1 
Ω
9 A
10 A
1 A
4 A
2 A
1 A
15 A
1 V
1 V
1 V
3 V
2 V
2 V
10 A
11 A
2 V
V
1
–17 A
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
2 V
1 V
3 V
0 V
Fig. 4.3-5 
Complete solution for the circuit in Fig. 4.3-4
The last two examples have demonstrated the following:
(i) An independent voltage source imposes a constraint on node voltage variables and reduces their 
number by one.
(ii) A node voltage variable need not be assigned at a node if an independent voltage source determines 
that node voltage directly or indirectly through another node voltage variable assigned to another 
node.
(iii) Node equation at a node where the node voltage is fixed directly by an independent voltage 
source connected from that node to the reference node is not required for solving other node 
voltage variables.
(iv) Node equations at two nodes with an independent voltage source between them have to be added 
to get a combined node equation that will be useful in solving the circuit analysis problem.
(v) The nodal analysis formulation results in an equation 
YV
=
CU
 
where 
Y
is the nodal conductance 
matrix of a reduced order circuit resulting from deactivating all independent sources in it. The 
input vector 
U
contains all the independent current source functions and independent voltage 
source functions. The solution for the node voltage vector 
V
can be written as 
Y
-1
CU
. This 
indicates that each node voltage (and hence all element voltages and currents) can be expressed 
as a linear combination of input source functions – i.e., x a I
a I
bV
b V
=
+
+ +
+
+
1 1
2 2
1 1
2 2
…
where x is some node voltage variable or element current/voltage variable and a’s and b’s are 
coefficients decided by circuit conductances and connection details. Some of the a’s and b’s may 
turn out to be zero for certain choices of x. For instance a
3
is zero if x 
=
v
1
in the example we just 
concluded, but it is non-zero if x 
=
i
V
1
.
(vi) The current through independent voltage sources can be found out only after the node voltage 
variables are solved. Finding the current through an independent voltage source requires the 
application of KCL at one of the end nodes of that voltage source.
We know an n node circuit has only n
- 
1 node voltage variables. Each independent voltage source 
reduces the number of node voltage variables to be solved for by one. Then, what happens if there 
are n
- 
1 independent voltage sources in the circuit? This leads us to our next example. Consider the 
following example circuit in Fig. 4.3-6 that has all the three node voltage variables constrained by 
three independent voltage sources.

---

4.14
Nodal Analysis and Mesh Analysis of Memoryless Circuits
I
1
R
1
R
0.2 
Ω
R
2
R
5
R
3
R
4
R
6
i
V
1
i
V
2
i
V
3
1 
Ω
0.5 
Ω
0.5 
Ω
0.2 
Ω
1 
Ω
12 A
2 V
1 V
2 V
1
2
3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
V
1
V
2
V
3
Fig. 4.3-6 
A fully constrained nodal analysis example circuit
Although all the three nodes are identified in the diagram, no node voltage variable is assigned to 
them. This is so since the voltage source V
1
fixes the first node potential, the voltage source V
2
fixes 
the second node potential and sources V
2
and V
3
together fix the third node potential. Hence, the circuit 
solution is v
1
=
2V, v
2
=
1V and v
3
=
3V. Now, all resistor voltages/currents and voltage across current 
sources can be worked out by inspection. Further, 
i
V
1
, 
i
V
2
and 
i
V
3
can be found out by applying KCL 
at the three nodes.
I
1
12 A
10 A
2 V
1 V
2 V
3 A
1 A
2 A
21 A
4 A
1 V
1 V
1 A
17 A
15 A
1 V
3 V
2 V
2 V
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
V
1
V
2
V
3
2 V
1 V
3 V
0 V
Fig. 4.3-7 
Solution for circuit shown in Fig. 4.3-6 
KCL at Node 1
− →
+
−
+
−
+ =
G v
G v
v
G v
v
i
I
V
1 1
2
1
2
3
1
3
1
1
(
)
(
)
. Substituting numerical values and 
solving for 
i
V
1
, we get 
i
V
1
=
3A. Further,
KCL at Node 2
KCL at Node 3
− →
+
−
+
−
+ −
=
− →
G v
G v
v
G v
v
i
i
V
V
4 2
2
2
1
5
2
3
2
3
0
(
)
(
)
G
G v
G v
v
G v
v
i
V
6 3
3
3
1
5
3
2
3
0
+
−
+
−
+
=
(
)
(
)
We eliminate 
i
V
3
by adding these two equations to get 
G v
G v
v
G v
G v
v
i
V
4 2
2
2
1
6 3
3
3
1
2
0
+
−
+
+
−
+
=
(
)
(
)
. 
Substituting numerical values and solving for 
i
V
2
, we get 
i
V
2
=
-
17A. Substituting this value in the 
node equation at node-2, we solve for 
i
V
3
to get 
i
V
3
=
-
21A. The complete circuit solution is shown in 
Fig. 4.3-7.
This circuit had no free node voltage variable. The three independent voltage sources suitably 
connected had fixed the node voltage variables already. Thus, there was no circuit analysis problem 
to begin with.
Three independent voltage sources in a four-node circuit need not result in a fully constrained 
circuit necessarily. For instance, assume that the source V
3
is shifted and connected between node-1 

---

Source Transformation Theorem and its Use in Nodal Analysis 
4.15
and node-2. We note that the three independent voltage sources will then form a closed loop in which 
KVL equation will lead to an inconsistent equation –2
- 
2
+ 
1 
=
0. Practically, this means that all 
the three sources are being shorted together with large currents in them. However, if we insist on 
modelling the sources as independent ones, the circuit can have no solution when the KVL equation 
in a loop leads to inconsistent equation. Thus, the value of V
3 
has to be changed to –1 V if it has to be 
connected between node-1 and node-2. KVL will be satisfied then. Now, the node voltage variable 
at node-3 is not constrained by these three sources and hence will have to be obtained by nodal 
analysis. However, the reader may verify that there is no way to determine the currents in the three 
voltage sources uniquely! There are infinite possible sets of values for these three currents. Thus, 
the circuit cannot be solved uniquely. Similar conclusions will follow for a case with more than
(n
- 
1) independent voltage sources in an n node circuit – either the circuit cannot be solved due to 
inconsistencies in KVL equations or the circuit can not be solved uniquely.
Thus, the maximum number of independent voltage source that can be there in a 
n
-node 
circuit with unique solution is (
n
- 
1).