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4.3 
 nodAl AnAlysIs of cIrcuIts contAInIng IndePendent VoltAge 
sources
We extend the nodal analysis technique we developed in the previous section to circuits containing 
independent voltage sources in addition to independent current sources in this section.
An independent voltage source can appear in three positions in a circuit. It may appear from a node 
to the reference node. Secondly, it may appear between two nodes at which more than two elements 
are incident. Thirdly, it may appear in series with some resistor. We deal with the first two cases in this 
section and take up the third case in the next section.
The circuit in Fig. 4.3-1 shows the first case. 
I
1
I
2
I
3
R
1
R
0.2 
Ω
R
2
R
5
R
3
R
4
R
6
V
1
v
1
v
2
1 
Ω
0.5 
Ω
0.5 
Ω
0.2 
Ω
3 V
1 
Ω
9 A
15 A
–11 A
1
2
3
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
Fig. 4.3-1 
Circuit showing a node voltage getting fixed by a voltage source
We identify the reference node and assign node voltage variables at other nodes as the first step in 
nodal analysis of circuits. The reference node and the remaining three nodes are identified in the circuit 
in Fig. 4.3-1. However, only two node voltage variables are assigned; the third node voltage variable is 
not shown assigned. The reason is obvious. The independent voltage source connected directly from that 
node to reference node fixes or constrains that node voltage to be at the source value. Thus, the number 
of node variables to be solved for has come down to 2 from 3. This, in general, is the effect of voltage 
sources in a circuit as far as nodal analysis is concerned. Each such voltage source imposes one constraint 
on the degree of freedom the circuit has and reduces the number of node voltage variables by one.
Thus, we have only two unknown node voltage variables in this 3-node 
+
reference node problem. 
We write the two node equations as below. 
G v
G v
v
G v
V
I
G v
G v
v
G v
V
I
I
1 1
2
1
2
3
1
1
1
4 2
2
2
1
5
2
1
2
3
+
−
+
−
=
+
−
+
−
= − −
(
)
(
)
(
)
(
)
(4.3-1)
We do not have to write the third node equation since we know that v
3
=
V
1
. Let us cast these 
equations in matrix form.
(
)
(
)
G
G
G
G
G
G
G
G
v
v
I
G V
I
I
G
1
2
3
2
2
2
4
5
1
2
1
3 1
2
3
+
+
−
−
+
+











 =
+
− − +
55 1
3
5
1
2
3
1
1
0
0
1
0
1
V
G
G
I
I
I
V





 =
− −


















(4.3-2)

---

4.10
Nodal Analysis and Mesh Analysis of Memoryless Circuits
The matrix equation has come out in the form of