Chiziqsiz masalalarni yechishning xisoblash usullari va algoritimlari

Tenglama koeffitsiyentlari temperaturadan bog’liq bo’lgan hol. Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasining koeffitsiyentlari temperaturadan bog’liq bo’lgan hol tipik holat bo’lib, bunda funksiyalar

Faqat temperature dan bog’liq bo’ladi:

Bu holda yangi o’zgaruvchi kiritish orqali

Tenglama (3) ni quyidagi ko’rinishga keltirish mumkin
Bu yerda
Agarda quyidagi almashtirishni kiritsak

U holda tenglama (3) ni o’rniga ushbu tenglamaga ega bo’lamiz

Bunda

2. 
   Temperaturaning darajali funksiyalari bo’lgan hol
   

Ko’pincha koeffitsiyentlar temperaturaning darajali funksiyalari bo’ladi

Bu holda ushbu almashtirishni kiritib

Va quyidagilarni e’tiborga olib

tenglama (3)ni quyidagi ko’rinishga keltiramiz

Nochiziqli dinamikada ayirmali akslantirishlar

Ayirmali approksimatsiya usulida differensial tenglama va qo‘shimcha shartlarga kiruvchi har bir hosila faqatgina shablonni tashkil qiluvchi tugun nuqtalarda ifodalangan ayirmali ifodalar bilan almashtiriladi. Ushbu usul juda sodda bo‘lganligi bois qo‘shimcha izohlarga hojat yo‘q. To‘g‘ri to‘rtburchakli to‘rda uzluksiz (va yetarlicha silliq) koeffitsiyentli differensial tenglamalar uchun ayirmali approksimatsiya usuli birinchi va ikkinchi tartibli approksimatsiyaga ega bo‘lgan ayirmali sxemalarni oson tuzish imkonini beradi. Ammo, ushbu usulni murakkabroq bo‘lgan hollar uchun qo‘llash ancha mushkul yoki qo‘llashni imkoni bo‘lmaydi. Masalan, uzilishli koeffitsiyentga ega bo‘lgan differensial tenglamalar uchun, hisoblash sohasi to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lmasa, yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun notekis to‘rda va boshqa hollarda.
Misol. Quyidagi differensial masala uchun ayirmali sxema tuzish talab etilsin:
f(x,t) , 0 (1)
(2)
u(0,t) = (3)
Ayirmali approksimatsiya usuli bo‘yicha ayirmali sxema tuzish uchun shablon tanlaymiz. Buning uchun 4-(a, b, v, g) rasmlarda keltirilgan shablonlardan foydalanamiz. Ushbu shablonlardan (1) differensial tenglamani quyidagicha approksimatsiya qilish mumkin.

1. 
   b)
   

v) g)
6-rasm.

1. 
   Shablon uchun:
   

f ( , )

2. 
   shablon uchun:
   

f ( , )

v) shablon uchun:

f ( , )
g) shablon uchun:
f ( , )

Qo‘shimcha shartlar barcha hollar uchun quyidagicha approksimatsiya qilinadi:

Bir jinsli bo‘lmagan xususiy hosilali differensial tenglama uchun teskari Koshi masalasini qaraymiz.
Q
Sohada


f (x , t , u) (1)
tenglamani hamda quyidagi boshlang‘ich


(2)
va chegaraviy



(3)

shartlarini qanoatlantiruvchi u(x, t) funksiyani topamiz.

Qaralayotgan masalaning namunasi sifatida amaliy issiqlik tarqalishi jarayoni modelini quramiz.
Faraz qilamiz u(x, t) uzunligi π sterjinning harorati va uning ichida
ƒ(x, t) ko‘rinishida manba berilsin.

(1)-(3) matematik modelni yechish uchun v(x , t)= belgilash kiritamiz. U holda

(4)
ya’ni sterjinning boshlang‘ich vaqtdagi harorati nolga teng. Belgilashlardan so‘ng, dastlabki masalamiz quyidagi ko‘rinishga keladi:

Bu masala, ushbu vaqtdagi ma’lum hararotdan o‘tgan vaqtdagi muhitning hararotini aniqlash masalasiga mos keladi. Chegaraviy shartlar chegarada nol hararotga mos keladi va dastlabki vaqtda harorat nolga teng. Ma’lumki, bu masala nokorrekt, ya’ni yechimlarning berilganlarga uzluksiz bog‘likligi yo‘q.