Chiziqsiz masalalarni yechishning xisoblash usullari va algoritimlari

Chiziqsiz masalalarni yechishning xisoblash
usullari va algoritimlari.

Har xil ilim sohalarida har xil obektlami (xodisalami,jarayonlami) ularning matematik modellarini yasab tadqiqotlash masalalari Nochiziqli tenglamalarni yechishga olib keladi. Nochiziqli tenglamalar amaliy matematikaning keng tarqalgan eng asosiy masalalarining biri bo’ladi. Bu masala hozirgi vaqtda bir noma’lumli haqiqiy va kompleks koeffitsientli bir algebraik tenglama berilgan hol uchun yetarli to’liq yechiladi.

Nochiziqli tenglamalarni yechish usullari, asosan ikki katta guruhga bo’linadi: to’g’ri va iteratsiyon usullar. To’g’ri usullar tenglamaning yechimlarini bazi-bir formula ko’rinishida yozishga imkon beradi va hamma vaqt uning aniq yechimlarini topishni ta’minlaydi.
Lekin hisoblash amaliyotida uchirashadigan murakkab nochiziqli tenglamalarning ko’pchiligini to’g’ri usul bilan yechish mumkin bo’la- vermaydi. Bunda boshqa, amaliy masalalarni yechish jarayonida kelib chiqgan tenglamalarning koeffitsentlari va ozod hadlari ko’pchilik hollarda faqat yaxlit turida belgili sonlar bo’ladi. Shu jarayonga bog’liq nochiziqli tenglamalarni va ularning sistemalarini iteratsiyon usullar yoki ketma-ket yaqinlashish usullari deb ataladigan yaqinlashish usullari bilan yechiladi. Bunday usulning ko’pchiligida, berilgan tenglamaning faqat bir ildizi joylashgan yetarli kichik masofasi avvaldan berilgan deb hisoblanadi. Izlanayotgan yechimning kichik atrofida yotgan nuqtalarning bittasi ildizga boshlang’ich yaqinlashish hisobidan qabul qilinib, bu ildizni taqrib usulning biri bilan avvaldan berilgan aniqligi bilan aniqlaydi. Bunday usullar sonli usullar deb ataladi.
Izlanishlarni osonlashtiradigan chiziqli masalalarning muhim xossasi shundan iboratki, ular uchun superpozitsiya prinsipi qondiriladi. Bu shuni anglatadiki, chiziqli tenglamaning ikkita yechimi yig' indisi yana bir yechim bo’ladi va qo’shimcha ravishda har qanday songa yechimlarning soni ko'paytirilishi mumkin, ularning summasini ham tenglamani qondiradi. Natijada, chiziqli masala yechimining har qanday son yig’indisi ushbu masalaning yechimi bo’ladi. Bu chiziqli masalaning yechimi muayyan, oddiy, yaxshi o’rganilgan yechimlar yig'indisini shakllantirishga imkon beradi.
Chiziqli bo’lmagan tenglamalarda superpozitsiya prinsipi bajarilmaydi va chiziqli masala uchun juda yaxshi ishlab chiqilgan yig’indi shaklida yechimlar yaratishning barcha usullari endi ishlamaydi.
Shunday qilib, chiziqli bo'lmagan masalalar o'rganish uchun katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bunda analitik usullar, odatda, ishlamaydi. Bunday holatda faqat raqamli usullarga tayanish zarur. Ilm va texnologiyaning zamonaviy muammolari bilan hosil qilingan matematik modellar, odatda, nochiziqlidir. Ushbu holat, shuningdek, hisoblash tajribasini bugungi kunda amaliy masalalarda nazariy tadqiqotlarni amalga oshirishning deyarli yagona vositasi bo'lishiga olib keladi. Biroq, biz chiziqli bo'lmagan masalalarni raqamli yechimini boshlashdan oldin, ko'rib chiqilayotgan muammolar bo'yicha noaniq parametrlarga qarab turli xil yechimlarning sifat xossalarini o'rganishimiz kerak.
Nochiziqli tipdagi masalalarni o'rganish differensial tenglamalar, matematika, mexanika, fizika, biologiya, kimyo, muhandislik, boshqaruv, navigatsiya va boshqa ko'plab sohalarda nazariy va amaliy muammolarni yechish uchun asosiy omil bo’ldi. Shunday qilib, Gamilton-Yakobi tenglamasi nazariy mexanikadan yaxshi ma'lum [14], optimal boshqaruv nazariyasi - Bellman tenglamasi [15], differensial o'yinlar nazariyasidagi Ayzeks tenglamasi [16], geometrik optikada Eykon tenglamasi [17]; Burger va Xopfning gaz va gidrodinamikada chegaraviy tenglamalari [18-20] va boshqalar.
Ushbu masalalar uchun chegaraviy qiymat yechimining klassik usuli XIX asrning birinchi yarmida O.Koshi tomonidan taklif qilingan xossalar usuli hisoblanadi. Ushbu uslub birinchi tartibli qism differensial tenglamalarning integratsiyalashuvi oddiy differensial tenglamalar tizimiga integratsiyalashuvini qisqartiradi. Birinchi tartibli qism differentsial tenglamasi uchun Koshi usuli chegara qiymatining klassik yechimining grafigi xarakteristikalarga nisbatan o'zgarmas ekanligiga asoslanadi. Ushbu uslubni qo'llashning cheklanishi, chiziqli bo'lmagan qism differensial tenglamasi holatida klassik (silliq) yechim, aniq yechimga yaqin bo’lgan yechim sifatida, faqat ma’lum bir hollardagina mavjudligi bilan izohlanadi. Shu bilan birga, masalan, o'yinlarda optimal tezlikni mazmunli vaqtga, antagonistik differentsial o'yinlarda ma'lum vaqtda optimal masofada, o'xshash bo'lmagan tarqalish frontiga ega bo’lgan, silliq bo’lmagan yoki uzilmagan funksiyalar bir xil aralash kompozit muhitdagi yorug’lik to’lqini va boshqalar o'rganiladi. Ushbu silliq bo'lmagan vazifalar global miqyosda aniqlanadi, chegara holatini qondiradi va differensiallik nuqtalarida tegishli qism differensial tenglamani qondiradi. Ular ko’rib chiqilayotgan chegara qiymatining umumiy yechimlari sifatida qaralishi mumkin. Gamilton-Yakobi tenglamasi va boshqa turdagi qism differensial tenglamalarning umumiy yechimining to’g’ri kontseptsiyasini joriy qilish zarurati XX asrning 50 - 70-yillarida faol tadqiqotlarni rag'batlantirdi. N.S Baxvalov, I.M Gelfand, S.K Godunov, O.A Ladijenskaya, O.A Oleynik, B.L Rojdestvenskiy, A.A Samarskiy, S.L Sobolev, A.N Tixonov, L.C Evans, W.H Fleming, E. Hopf, P. Lax va boshqa ko'plab taniqli matematiklar asarlarida mazkur tenglamalarnig zaif yechimlarini o'rganish bilan bog'liq muammolar o'rganildi. Ushbu kuzatuvlar umuman asosiy yechimlarning integral usullari va integral xossalariga asoslanadi.