Chiziqli algebra kursida o’rganilgan chekli o’lchovli fazolar poydevor qilib olinib, cheksiz o’lchovli abstract funksional fazolar qaraladi va o’rganiladi. Asosiy funksional fazolar xossalarini o’rganish

Natija. Agar cheksiz o‘lchamli Banax fazosi bo‘lsa, u holda operator kompakt emas.
Ta’rif. Bizga Banax fazolari berilgan bo‘lsin. Agar chiziqli operator fazodagi birlik sharni fazodagi nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda kompakt operator deyiladi.
Ta’rif. Bizga ( Banax fazolari) operator va ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Agar ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, u holda ga kompakt operator deyiladi.
Misol. Berilgan har bir uchun

operatorning kompaktligini ko‘rsating.
Yechish. operatorning kompakt ekanligini ko‘rsatishda teoremadan foydalanamiz. Chunki chegaralangan operator va Haqiqatan ham,

Demak, chegaralangan va uning normasi uchun

tengsizlik o‘rinli. operatorning qiymatlar sohasi esa vektorlar sistemasidan hosil bo‘lgan qism fazo bilan ustma-ust tushadi. Shuning uchun 17.2-teoremaga ko‘ra, kompakt operator bo‘ladi.
fazoda quyidagi integral operatorning kompaktligini ko‘rsating.

Yechish. Dastlab operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatamiz.

Bu yerda biz Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalandik. Agar tengsizlikni e'tiborga olsak,

ga ega bo‘lamiz. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Agar biz ayniyatdan foydalansak,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda

Demak, ixtiyoriy element va larning chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanadi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Demak, teoremaga ko‘ra operator kompakt bo‘ladi.