Chiziqli algebra kursida o’rganilgan chekli o’lchovli fazolar poydevor qilib olinib, cheksiz o’lchovli abstract funksional fazolar qaraladi va o’rganiladi. Asosiy funksional fazolar xossalarini o’rganish

2. Kompakt operatorlar
Oldingi bo‘limlarda ko‘rganimizdek, chekli o‘lchamli fazolarda chiziqli operatorlar matritsalar orqali to‘liq aniqlanadi. Lekin cheksiz o‘lchamli fazolarda chegaralangan chiziqli operatorlarni har doim ham bunday tavsiflash mumkin emas. Chekli o‘lchamli fazolardagi operatorlar sinfiga yaqin bo‘lgan operatorlar bu kompakt operatorlardir. Kompakt operatorlar funksional analizning juda ko‘p tatbiqlarida qo‘llaniladi, jumladan, integral tenglamalar nazariyasida keng qo‘llaniladi. Ta’rif. Agar X Banax fazosidagi chiziqli operator har bir chegaralangan to‘plamni nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi. Chekli o‘lchamli fazolarda har bir chiziqli operator kompakt operatordir. Chunki bu fazolarda chiziqli operator chegaralangan to‘plamni chegaralangan to‘plamga akslantiradi va har bir chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir. Agar X Banax fazosidagi A chiziqli operatorning qiymatlari to‘plami R(A) chekli o‘lchamli bo‘lsa, u holda A chekli o‘lchamli operator deyiladi.
1. Agar A kompakt operator, B chegaralangan operator bo‘lsa, u holda AB va BA ham kompakt operator bo‘ladi. Yechimi. Aytaylik, S ⊂ X chegaralangan to‘plam bo‘lsin. A kompakt ekanligidan, A(S) nisbiy kompakt to‘plamdir. Nisbiy kompakt to‘plamning uzluksiz akslantirishdagi obrazi nisbiy kompaktligi va B operatorining uzluksizligidan, (AB)(S) = B(A(S)) to‘plam ham nisbiy kompaktdir. Demak, AB kompakt operator bo‘ladi. Xuddi shunday BA kompakt ekanligi kelib chiqadi. Agar {An} Banax fazosidagi kompakt operatorlar ketma-ketligi A operatoriga norma bo‘yicha yaqinlashsa, u holda A kompakt operator bo‘ladi. Yechimi. A operatorining kompaktligini isbotlash uchun X fazosidagi ixtiyoriy {x_n} chegaralangan ketma-ketlik olinganda, {Ax_n} ning yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligi mavjudligini ko‘rsatamiz. A₁ kompakt operator bo‘lganligidan, {Ax₁} ning yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligi mavjud.
Dastlab normalangan fazodagi kompakt, nisbiy kompakt to‘plamlarga ta’rif beramiz. Chunki kompakt operatorlar shu tushunchalar asosida ta’riflanadi. Biz normalangan fazolarda kompaktlik kriteriylarini ham keltiramiz. Keyin esa asosiy tushuncha kompakt operatorga ta’rif beramiz va unga misollar keltiramiz.
Bizga Banax fazosi va to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar to‘plamdan olingan ixtiyoriy ketma-ketlikdan da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, ga kompakt to‘plam deyiladi. Agar to‘plamning yopig‘i kompakt to‘plam bo‘lsa, u holda nisbiy kompakt to‘plam deyiladi. To‘plam nisbiy kompakt bo‘lishi uchun uning to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli. Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir. Asosiy funksional fazolardan biri fazodir. Bu fazodagi to‘plamning kompaktlik kriteriysi Arsela teoremasi yordamida bayon qilingan. fazoda to‘plam nisbiy kompakt bo‘lishining zarur va yetarli shartlari keltirilgan.