Chiziqli Algebra fanidan yozgan mustaqil ishi topshirdi: Rajapov a qabul qildi sadaddinova s toshkent 2021

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNALOGIYALARI UNIVERSITETI KOMPYUTER INJINERINGI FAKULTETI 218-20 GURUH TALABASI RAJAPOV AZAMAT Chiziqli Algebra FANIDAN YOZGAN

MUSTAQIL ISHI

TOPSHIRDI: Rajapov A

QABUL QILDI Sadaddinova S

Toshkent 2021

Unitar fazaolar va ular ustida chiziqli operatorlar

Reja:

1. 
   Vektor fazo haqida tushuncha.
   
2. 
   Ortogonal vektorlar
   
3. 
   Evklid vektor fazosi yoki Unitar fazo.
   
4. 
   Chiziqli operatorlar .
   
5. 
   Xulosa.
   

Bo’sh bo’lmagan V to’plam va ℱ maydon berilgan bo’lsin. Agar quyidagi aksiomalar bajarilsa, u

holda V to’plam ℱmaydoni ustiga qurilgan vektor fazo deyiladi:

1.V–additiv abel gruppa;

2. (  )x  (x) (x  V,,  F);

3. (x  y)  x  y (x,y  V,   F);

4. (  )x  x  x (x  V,,  F);

5. 1 x  x (x  V, 1  F).

Endi vektor fazoning ta’rifidan kelib chiqadigan quyidagi xossalar bilan tanishib o’tamiz:

1. 
   . Vektor fazo ta’rifidagi 1-aksiomaga binoan V chiziqli fazo additiv abel gruppa bo’lganidan u yagona 0 elementga ega. Bundan tashqari V ning har bir x elementi uchun yagona  x qarama-qarshi element mavjud.
   
2. 
   0  x  0 (x  V, 0  F). 3
   
3. 
     0  0 (  F, 0  V).
   
4. 
   Agar   x  0 bo’lsa, u holda   0 yoki x  0 bo’ladi.
   
5. 
   Agar  x   y bo’lib,   0 bo’lsa, u holda x  y bo’ladi.
   
6. 
   Agar   x    x bo’lib, x  0 bo’lsa, u holda    bo’ladi.
   
7. 
   С {a bi| a,b R, i 1} 2       to’plam R haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazoni ifodalaydi
   

Kompleks sonlar maydoni ustida aniqlangan V vektorlar fazosi berilgan bo’lsin.

Agar V fazoning har bir juft x va y elementlariga ularning skalyar ko’paytmasi deb ataluvchi yagona (x, y) haqiqiy son mos qo’yilib, bu moslik uchun

1) (x, y)  (y, x) ;

2) (x  y, z)  (x, z)  ( y, z);

3) (x, y)  (x, y),   R ;

4) (x, x)  0 aksiomalar bajarilsa, u holda V vektorlar fazosiga skalyar ko’paytmali fazo deyiladi. Yuqoridagi aksiomalardan skalyar ko’paytmaning quyidagi xossalari kelib chiqadi:

1 . (x, y  z)  ( y  z, x)  ( y, x)  (z, x)  (x, y)  (x, z)

2 . (x,  y)  ( y, x)  (y, x)  (x, y) .

Agar V fazoning istalgan x  0 vektori uchun (x, x)  0 bo’lsa, V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma xosmas skalyar ko’paytma deyiladi.

Agar V fazoning istalgan x va y vektorlari uchun (x, y)  0 bo’lsa, V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma nol skalyar ko’paytma deyiladi. Biz bundan keyin faqatgina xosmas skalyar ko’paytmaga ega bo’lgan fazolar bilangina shug’ullanamiz.

Agar V fazoning istalgan x  0 vektori uchun (x, x)  0 bo’lsa, bunday fazoga unitar fazo deyiladi.

Agar unitar fazoning ikkita x va y vektorlari uchun (x, y)  0 bo’lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.

Agar V fazoning a1 , a 2 ,..., an (1) vektorlar sistemasining istalgan ikkita elementi o’zaro ortogonal bo’lsa, u holda (1) sistema ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.

Teorema. Agar V xosmas skalyar ko’paytmali vektor fazo bo’lsa, u holda V fazoning nolmas vektorlaridan tuzilgan ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.

Agar ortogonal vektorlar sistemasi qaralayotgan fazoning bazisi bo’lsa, bunday sistema ortogonal bazis deyiladi.

e1  (1,0,0), e 2  (0,1,0), e 3  (0,0,1) sistema R 3 fazoning ortogonl bazisi bo’ladi.

V2 fazoda berilgan ikkita a va b vektorlarning skalyar ko’paytmasi

(a, b)  a  b cos(a^ b) (1) formula orqali aniqlanadi.

formuladan a b a b a b   ( , ) cos( ^ ) (2) topiladi. Bunda (a^ b) belgi a va b vektorlar orasidagi burchakni bildiradi. Ta’rif. Haqiqiy sonlar maydoni ustida aniqlangan V unitar fazoga Evklid fazosi deyiladi. Evklid fazoni E orqali belgilaylik. Bu ta’rifga ko’ra biror V fazo Evklid fazosi bo’lishi uchun uning elementlari ustida quyidagi shartlar bajarilishi lozim:

1) (x, y)  (y, x) (x, y V) ;

2) (x, y  z)  (x, y)  (x,z) (x, y, z V) ;

3) (x, y)  (x, y) (x, y V,   R) ;

4) (x, x)  0 (x V, x  0), (x, x)  0 (x V, x  0) .

1–4-aksiomalar (x, y) skalyar ko’paytmaning har bir tashkil etuvchilariga ko’ra chiziqli ekanligini bildiradi.

Ta’rif. + (a, a) miqdor a V vektorning normasi (uzunligi) deyiladi va a orqali belgilanadi.

Ta’rif. Agar a  1 bo’lsa, a normallangan vektor deyiladi. Agar a , b - Evklid fazosining ixtiyoriy vektorlari va   R uchun vektorning normasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   . a  0 ( a  0  a  0) ;
   
2. 
   . a   a ;
   
3. 
   . (a, b)  a  b (Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi);
   
4. 
   . a  b  a  b (uchburchak tengsizligi).
   

Evklid fazosining har biri normallangan a1 , a2 ,...,an (3) ortogonal vektorlar sistemasiga ortonormallangan vektorlar sistemasi deyiladi. Agar (3) sistema bazis tashkil etsa, unga Evklid fazosining ortonormallangan bazisi deyiladi.

Misol. e1  (1,0,0), e 2  (0,1,0), e 3  (0,0,1) uch o’lchovli Evklid fazosining ortonormallangan bazisi bo’ladi.

Haqiqatan, (e1 , e 2 )  0, (e1 , e 3 )  0, (e 2 , e 3 )  0; e1  1, e2  1, e3  1 bo’ladi.

Demak, e1 , e 2 , e 3 sistema E fazoning bazisi ekan.

Teorema. Chekli o’lchovli Evklid fazosining istalgan bazisini ortonormallash mumkin.

Isboti. a1 , a2 ,...,an vektorlar sistemasi n o’lchovli En Evklid fazoning bazisi bo’lsin. Bizga ma’lumki a1 , a2 ,...,an bazisni hamma vaqt ortogonallash mumkin.

Ortogonal bazisdagi har bir vektorni o’z normasiga bo’lib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

, , ………, , (4)

Vn fazo Evklid fazosi bo’lgani uchun = vа = vektorlar uchun

( ) = (5) tenglik bajariladi.

Demak, (4) sistema ortonormallangan sistema ekan.

Biz oldingi ma’ruzalarda vektor fazo tushunchasi bilan tanishgan edik. Endi turli vektorlar fazolari orasida qanday munosabatlar mavjudligini ko’raylik. U vektor fazoning V vektor fazoga akslantirish  bo’lsa, u holda  : U V ko’rinishda belgilaylik.

U vektor fazoning ixtiyoriy x elementiga  akslantirish yordamida V vektor fazodan mos keluvchi vektorni y deylik.

Bu moslik  : x  y , x  y  ,  x  y , y (x) ko’rinishlarda belgilanadi. Ta’rif. ℱ sonlar maydoni ustida aniqlangan U vektor fazoning V vektor fazoga akslantiruvchi  akslantirish uchun ushbu 1. (x1  x 2 ) (x1 )  (x 2 ) ,

2. (x)  (x) (  F) shartlar bajarilsa, u holda U vektor fazo V vektor fazoga chiziqli akslanadi deyiladi U fazoni V fazoga chiziqli akslantirishlar to’plamini Hom(U,V) orqali belgilanadi.

Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga akslantirish U fazoda aniqlangan operator deyiladi. Yuqoridagi ikkita ta’rifdan ko’rinadiki, operator chiziqli akslantirishning xususiy holi ekanligi. Operatorlar f ,,... harflar bilan belgilanadi.

Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga chiziqli akslantirish U fazoda aniqlangan chiziqli operator deyiladi.  chiziqli akslantirish ta’sirida (x)  y bo’lsa, u holda y vektor x vektorning obrazi (tasviri), x vektor esa y vektorning proobrazi (asli) deb yuritiladi. xU bo’lganda (x)V vektorlar to’plami odatda  akslantirishning obrazi deb yuritiladi va Jm yoki U orqali belgilanadi.

Misol. Agar  :  akslantirish S kompleks sonlar maydoni ustida chiziqli operator bo’ladi (Bunda  va  sonlar o’zaro qo’shma kompleks sonlar).

Ta’rif. U vektor fazoning ixtiyoriy x1 va x 2 elementlari va U da aniqlangan  operator uchun (x1  x 2 ) (x1 )  (x 2 ) tenglik bajarilsa, u holda  ga U da aniqlangan additiv operator deyiladi. Quyidagi xossalar o’rinli:

1. 
   0  0 ;
   

2 . (-x)   (x) (x  U);

3 .  (r x)  r  x (r Q);

5. 
   .  (x1  x 2 )  (x1 )   (x 2 ) (x1 , x 2  U) .
   

Ta’rif. Agar  ixtiyoriy son bo’lganda ham U fazoning ixtiyoriy x elementi uchun  ( x)   (x) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda  ga U da aniqlangan bir jinsli operator deyiladi.

Ta’rif. Bir vaqtda bir jinsli va additiv bo’lgan operatorga chiziqli operator deyiladi.  operator chiziqli operator bo’lishi uchun

U fazoning ixtiriy x1 ва x 2 elementlari va 1 , 2  F berilganda

( 2 )   x   x    x    x tenglikning bajarilishi zarur va etarli. Bu mulohazani isbotlashda yuqoridagi ikkita ta’rifdan foydalaniladi. Agar  chiziqli operator bo’lsa, u holda , ( 1, ) i x U P i n  i     uchun ushbu ( ... ) ( ) ( 2 ) ... ( ) 1 1 1 2 2 1 1 n n n n   x   x    x    x    x     x (1) tenglik o’rinli bo’ladi.

Bu mulohazada (1) tenglik matematik induktsiya printsipi asosida isbot qilinadi.

Ta’rif. Agar xU uchun (x)  0 tenglik bajarilsa, u holda  operatorga nol operator deyiladi. Nol operator ham chiziqli operator bo’ladi. (Isbotlang).

Ta’rif. Agar xU uchun e(x)  x tenglik bajarilsa, u holda e ga ayniy (birlik) operator deyiladi. Ta’rif. Agar xU ,   Р uchun (x)   x tenglik bajarilsa, u holda  ga o’xshashlik operatori deyiladi. Demak, bu ta’rifdan ko’rinadiki,   0 bo’lsa, o’xshashlik operatorining nol operator,  1 bo’lsa, o’xshashlik operatorining ayniy operator bo’lishi.

Ta’rif. Agar x  (x1 , x2 ,..., xn ) U bo’lib, (x) (x , x ,..., x ) (x , x ,..., x ) (1 k n)    1 2 n  1 2 k   bo’lsa, ya’ni  operator n o’lchovli fazodagi vektorni k o’lchovli fazodagi vektorga o’tkazuvchi operator bo’lsa, u holda  ga proektsiyalovchi operator deyiladi.

Agar Un fazoning ixtiyoriy x vektori uchun f (x) (x)  (x) tenglik bajarilsa u holda f ga  va  operatorlarning yig’indisi deyiladi va u     f orqali yoziladi.

x Un   F,   uchun ()x (x) tenglik bajarilsa, u holda  ga  operatorning  skalyarga ko’paytmasi deyiladi. Ayrim hollarda Un fazoning nolmas vektorini  operator ta’sirida nol vektorga akslanishi mumkin.

Foydalanilgan adabiyotlar :

1. 
   Algebra va Sonlar nazaryasi .
   
2. 
   www.ziyouz.com
   

http://n.ziyouz.com/kutubxona/category/145-matematika?download=7297:algebra-va-sonlar-nazariyasi-1-qism-r-nazarov-va-b

3. 
   www.library.ziyonet.uz
   

http://library.ziyonet.uz/ru/book/download/56335