Chiziqli akslantirishlar

5.2.1. Ta’rif. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar, va lar A hamda V larning bazislari bo’lsin. akslantirish chiziqli akslantirish bo’lsin va faraz qilaylik ga teng bo’lsin.

matrissa va bazislarga o’zaro bog’liq bo’lgan f chiziqli akslantirishning matritsasi deb ataladi.

5.2.2. Teorema. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar, va lar A hamda V larning bazislari bo’lsin. va lar va ning larga mos matritsalari bo’lsin. U holda

(1) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(2) Agar , u holda akslantirishning bazisdagi matritsasi bo’ladi.

Isbot.

1. 
   Barcha lar va uchun quyidagi tenglik mavjud:
   

Bundan kelib chiqadiki chiziqli akslantirishning bazislardagi matritsasi.

2. 
   Barcha lar va uchun quyidagi tenglik mavjud:
   

.

Bundan kelib chiqadiki chiziqli akslantirishning bazislardagi matritsasi.

5.2.3. Natija. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va ga teng bo’lsin. vektor fazo ga izomorfikdir.

Isbot. va bazislar va ga tegishli bo’lsin. akslantirishni topamiz. Har bir uchun , ning bazislardagi matritsasi. 5.2.2. teorema yuqoridagi akslantirishni chiziqli ekanini ko’rsatadi.

Aytaylik va da aniqlangan elementlar bo’lsin. 5.1.12 teoremaga ko’ra, akslantirish yagona chiziqli akslantirish shuning uchun ga teng bo’ladi. ning bazislardagi matritsasi. Yuqoridagilardan akslantirish suryektiv bo’ladi.

Nihoyat, chiziqli akslantirishlar va mos xolda lar va ning bazislarga mos matritsalari bo’lsin. Farazimizdan uchun bo’ladi. U holda

.

ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremaga ko’ra, , bo’ladi. U holda

,

bu esa ni keltirib chiqaradi. Shundan, akslantirish inyektiv va shuning uchun akslantirish izomorfizmdir.

5.2.4. Natija. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar bo’lsin. vektor fazo chekli o’lchamli va

.

Isbot. va bo’lsin. 5.2.3 natijadan izomorfizm ga va 5.1.9 natijadan ga egamiz. ga teng demak

.

va lar mos xolda va dagi bazislar bo’lsin. ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. ning ixtiyoriy elementi bo’lsin. 4.2.16 teoremadan, uchun va tengliklar mavjud. Va

.

4.2.16 teoremadan tenglik mavjud va quyidagi matritsa tenglamasiga kelamiz

.

5.2.5. Teorema. Aytaylik, A va V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va va bazislar mos xolda va ga tegishli bo’lsin. farazdan va mos xolda ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. U holda .

Isbot. orqali tashkil topgani uchun, orqali tashkil topgan bo’ladi. kanonik izomorfizm bo’lsin. 5.1.9 natijadan, . Bizda tenglik mavjud, bundan

.

Bundan kelib chiqadiki matritsaning barcha ustunlari orqali ifodalanadi. Shunday qilib, kelib chiqadi.

5.2.6. Teorema. Aytaylik, A ,V va F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar va , va bazislar mos xolda , va ga tegishli bo’lsin. Farazimizdan akslantirishlar chiziqli akslantirishlardir. chiziqli akslantirishning bazislarga mos matritsasi va ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. U holda akslantirishning bazislarga mos matritsasi bo’ladi.

Isbot. ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. U holda quyidagiga ega bo’lamiz:

. (5.1)

Boshqa tomondan,

4.2.16 teoremadan, ning ajralishi 5.1 tenglamada yagonaligini ko’rsatadi,

, va

Bundan kelib chiqadiki .

5.2.7. Teorema. Aytaylik, A ,V F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazolar bo’lsin. ning bazislari , va ning bazislari , bo’lsin. Farazimizdan chiziqli akslantirish. chiziqli akslantirishning bazislarga mos matritsasi va ning bazislarga mos matritsasi bo’lsin. mos xolda dan gacha va dan gacha o’zgaruvchi(transition) matritsalar bo’lsin. U holda bo’ladi.

Isbot. Bizda, uchun va lar mavjud. Bir tomondan,

Boshqa tomondan,

4.2.16 teoremadan, elementning ko’rinishi bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi kabi yagona; demak

(5.2)

va bo’lsin.

U holda, matritsalarning ko’paytirish ta’rifidan quyidagiga ega bo’lamiz

va .

5.2 tenglamadan quyidagiga ega bo’lamiz , bundan tenglikni tushunamiz. 4.2.19 natijadan, matritsa singulyar emas, mavjud va orqali oxirgi tenglamaning xar ikki ko’paytmasidan, ga ega bo’lamiz.

Biz endi chiziqli akslantirishlarning muxim maxsus qismini ko’rib chiqamiz, ya’ni chiziqli almashtirishlar(transformations)ni.

Aytaylik, A F maydon ustidagi vektor fazo va ning chiziqli almashtirishi bo’lsin. ni chekli o’lchamli desak va ning bazisi bo’lsin. ning xar bir elementini bazisning asosiy nuqtalari bilan yozamiz, shuningdek

5.2.8. Ta’rif. Aytaylik, A F maydon ustidagi vektor fazo va ning bazisi bo’lsin. ning chiziqli almashtirishi va .

Matritsa ning bazisdagi matritsasi deb ataladi.

5.2.9. Teorema. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ning bazisi bo’lsin. va lar va ning bazisdagi matritsalari bo’lsin. U holda

(1) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(2) ning dagi matritsasi bo’ladi.

(3) Agar , u holda ning bazisdagi matritsasi bo’ladi.

Bu teorema 5.2.2 va 5.2.6 Teoremalardan kelib chiqdi.

5.2.10. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va bo’lsin. izomorfizm bundan kelib chiqadi.

Isbot. ning bazisi bo’lsin. chiziqli almashtirish, akslantirishni orqali topamiz va ning dagi matritsasi bo’ladi. 5.2.9 teorema ushbu akslantirishni respects multiplication va skalyar ko’paytma ekanligini ko’rsatadi. 5.2.3 natijaning xulosasidan ning biektivligini ko’rishimiz mumkin.

5.2.11. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo bo’lsin. U holda chekli o’lchamli va bo’ladi.

5.2.12. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ning bazislari , bo’lsin. Farazimizdan ning chiziqli almashtirishi bo’lsin va mos xolda lar ning bazislarga mos matritsalari bo’lsin. dan gacha bo’lgan o’zgaruvchi matritsasi bo’lsin. U holda ga teng bo’ladi.

5.2.13. A F maydon ustidagi vektor fazo bo’lsin. ning izomorfizmi ning o’ziga avtomorfizm deyiladi.

Shunday qilib, ning avtomorfizmi ning biektiv chiziqli almashtirishi bo’ladi.

5.2.14. Teorema. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ningchiziqli almashtirishi bo’lsin. Quyidagilar ekvivalentdir:

(1) –monomorfizm.

(2) –avtomorfizm.

(3) –epimorfizm.

Isbot. farazimizdan birinchi – monomorfizm. 5.1.11 natijadan, . 5.1.4 teoremada nazarda tutilganidek , bundan bo’ladi. 4.2.20 teorema quyidagini ko’rsatadi, . Navbatdagi akslantirish suektiv, demak biektiv va ning avtomorfizmi.

implikatsiya aniq va ravshan.

. 5.1.11 natijaga takroran murojat qilamiz va kelib chiqadi. , , bundan va . 5.1.4. teorema ni monomorfizm ekanligini ko’rsatadi.

5.2.15. Natija. A F maydon ustidagi chekli o’lchamli vektor fazo va ning chiziqli almashtirishi bo’lsin. U holda, ning avtomorfizmi bo’ladi faqat va faqat bo’lgandagina.
Chiziqli operatorlarning yadrosi va tasviri. Chiziqli operator matritsasi.

Aytayli X va Y lar R sonlar maydoni ustidagi vektor fazolar bshlsin.

T A O R I F : f : X  Y akslantirish

a) lar uchun

shartlarni qanoatlantirsa f ni chiziqli akslantirish (gomomorfizm) deyiladi

Agar f - biyektiv akslantirish bo‘lsa, f chiziqli akslantirish izomorfizm ham deyiladi.

f : X  Y chiziqli akslantirishlar to`plamini L (X,Y) kabi belgilaymiz. Agar X=Y bo‘lsa chiziqli akslantirishni chiziqli operator deyiladi.

Barcha chiziqli operatorlar tshplamini L(X,X) = L (X) kabi belgilaymiz.

TEOREMA: f : X  Y - chiziqli akslantirish bshlsa,

lar uchun tenglik shrinli bshladi.

TEOREMA . Aytaylik X va Y lar R sonlar maydoni ustidagi vektor fazolar, fazoning bazisi va ning ixtiyoriy vektorlari bshlsin. U ‘olda shartni ianoatlantiruvchi yagona f: X  Y chiziqli operator mavjud.

NATIJA. Aytaylik X va Y lar R sonlar maydoni ustidagi vektor fazolar, fazoning bazisi , f,  L(X,Y) bshlsin, u ‘olda bshlsa,  = f bshladi.

NATIJA. Aytaylik fazoning bazisi ,

X ning ixtiyoriy vektorlari bshlsin, u xolda (1) shartni ianoatlantiruvchi yagona f  L (X) chiziqli operator mavjud.

Ataylik f  L (X) chiziqli operator bshlsin

kism tshplam X ni iism fazosi bshladi. ‘aiiiatan ‘am

. Demak Kerf fazo X ni iism fazosi.

TAORIF X fazoning iism fazosi Ker f chiziqli operatorning yadrosi, bu iism fazo shlchovchi f chiziqli operatorni defekti deyiladi. f chiziqli operator ekanligidan X ni iism tshplami uning iism fazosi bshladi. Bu iism fazo f chiziqli operatorni obrazi (aksi), bu iism fazoni shlchovi esa f operatorni rangi deyiladi.

TEOREMA Aytaylik f  L (x) X chekli shlchovli fazodagi chiziqli operator bshlsa, f chiziqli operatorni rangi va defektlari yiindisi X chekli shlchovli fazoni shlchovi dim X ga teng bshladi.

Aytaylik f,  L(X,Y), u ‘olda ularni yiindisini

(f+) (x) = f (x) +  (x) tenglik oriali aniilaylik, ‘uddi shuningdek,   R songa kshpaytirishni amalini ( f) (x) =  f (x) tenglik bilan aniilaylik.

TEOREMA Agar f,   L(X,Y) bshlsa, f+  L(X,Y)  f  L(X,Y) bshladi.

Aytaylik X chekli shlchovli fazo uning bazisi,

f  L(X) chiziqli operator bshlsin. ekanligidan, ularni ‘ar birini (ye) bazis vektorlari oriali chiziqli ifodalash mumkin, yaoni

T A O R I F k- ustini ning koordinatalaridan iborat bshlgan M(f) matritsani f chiziqli operatorning (ye) bazisdagi matritsasi deyiladi, yaoni

Aytaylik f  L(X) u xolda

oriali mos ravishda

vektorlarni koordinatalaridan tuzilgan ustun vektorlarni belgilaylik, yaoni

bu ikki ustun vektorlar orasidagi bolanishni topaylik.

TEOREMA. Aytaylik f  L(X) va M(f) - f operatorni (ye) bazisdagi matritsasi bshlsin, u xolda

tenglik shringa ega bshladi.

TEOREMA Aytaylik f  L(X) M(f) - f chiziqli operatorni (ye) bazisdagi matritsasi bshlsin. Agar uchun tenglik shrinli bshlsa, B= M(f) tenglik shrinli bshladi.

TEOREMA Aytaylik f,   L(x) , (ye) X dagi fiksirlangan bazis,  R bshlsin, u xolda M(f+) = M (f) + M () , M () =  M() tengliklar shringa ega bshladi.

TEOREMA. Chekli shlchovli nolmas fazodagi chiziqli operatorning rangi uning ixtiyoriy bazisdagi matritsasining rangiga teng.