Chiziqli akslantirishlar

5.1.2. Tarif. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin. A va V izomorf deyiladi, agar o’zaro bir qiymatli izomorfizm mavjud bo’lsa va uni quyidagicha yozish mumkin:

yoki

ayniy akslantirish izomorfizmdir. Ta’rifga asosan barcha lar uchun va u chuziqlidir, shuningdek akslantirish nol akslantirish hisoblanadi.

bo’lsin. akslantirish ta’rifga asosan barcha lar uchun chiziqli va u gomotety (o’xshash) deb ataladi.

Bundan tashqari va lar chiziqli akslantirish bo’lsa, ularning ko’paytmasi ham chiziqli akslantirish tashkil etishini ko’rishimiz mumkin.

5.1.3. Teorema. Aytaylik A va V lar F dan olingan vektor fazolar bo’lsin va akslantirish chiziqli akslantirishni tashkil etsin. U holda quyidagi xossalarga ega bo’lamiz:

1) .

2) uchun .

3) lar uchun .

4) va lar uchun

5) agar B Aga qism fazo bo’lsa, uning obrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, V ga qism fazo bo’ladi.

6) Agar U Vga qism fazo bo’lsa, uning proobrazi V da qism fazo tashkil etadi; xususan, A ga qism fazo bo’ladi.

7) Agar M A da qism to’plam tashkil etsa, u holda

Isbot.

1. 
   Har bir uchun o’rinli. Shunga ko’ra
   

V da qo’shma qarama–qarshilikka ega. Yuqoridagi qonuniyatga asosan:

ga ega bo’lamiz.

2. 
   , demak
   

bundan ga o’zaro teskaridir.

3. 
   
   
4. 
   n uchun induksiyadan foydalanamiz. n=2 uchun
   

.

Faraz qilaylik,

isbotlangan.

Bundan,

ni hosil qilishimiz mumkin.

5. 
   va bo’lsin, 4.1.7 teoremaga asosan , bundan
   

va

Shunday qilib, 4.1.7 teoremaga ko’ra V ga qism fazo bo’ladi.

6. 
   , va bo’lsin. va ga ko’ra U Vga qism fazo bo’ladi.
   

4.1.7 teoremaga asosan A ga qism fazo bo’ladi.

7) bo’lsin. 4.2.3 teoremaga ko’ra haqiqiy elementlar uchun ko’rinishda bo’ladi. .

Bundan ko’rinadiki,

.

Mantiqan bo’lsin. Argumentlariga murojat qiladigan bo’lsak,

ni isbotlashga erishamiz.

Qism fazo f–chiziqli akslantirishda yadro deb ataladi.