Chebishev tengsizligi

Tanlanmaning statistik taqsimoti.

Bo`sh to`plamdan tanlanma olingan, bunda x1 qiymat n, marta, x2 qiymat n2
k

marta va hakozo
х_л qiymat n_k
marta kuzatiladigan bo‘lsin. Ravshanki

i 1
n₁  n

kuzatilgan

x_i (i  1, n)
qiymatlar variantlar, variantlarning ortib yoki kamayib borish

tartibida yozilgan ketma-ketligi esa variatsion qator deyiladi.
Kuzatilgan xi qiymatlar variantalar, variantalarning ortib borish tartibida yozilgan ketma-ketligi esa variatsion kator deyiladi.
Kuzatishlar soni n_i (i  1, n) chastotalar, ularning tanlanma xajmiga nisbati

n
ⁱ  W_i n
esa nisbiy chastotalar deyiladi.

Tanlanmaning statistik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar ro`yxatiga aytiladi.
Chastota taqsimoti:

хi	хi	х2	....	хk
ni	n1	n2	....	nk

Bu yerda




i 1
n₁  n

Nisbiy chastota taqsimoti:

хi	хi	х2	....	хk
Wi	W1	W2	....	Wk

Bu yerda,



_ W₁  1
i 1

Statistik taqsimotni yana intervallar va ularga tegishli chastotalar ketma-ketligi ko`rinishida ham berish mumkin.

Taqsimotning empirik funksiyasi

Faraz qilaylik, X begili bo`sh to‘plamning statistik taqsimoti ma’lum bo‘lsin.
n_x belgining x dan kichik variantalar soni, n  tanlanma hajmi bo‘lsin.

Ravshanki,
X  x hodisaning nisbiy chastotasi
^nx ga teng. Agar х
n

o‘zgaradigan bo‘lsa, u holda
^nx ham o`zgaradi, ya’ni, nisbiy chastota x ning
n

funksiyasidir. Bu funksiya empirik ( tajriba) yo`li bilan topiladigan bo`lgani uchun u empirik funksiya deyiladi.
Taqsimotning empirik funksiyasi deb, (yoki tanlanmaning taqsimot funksiyasi)har bir x qiymati uchun ХF^*(x)= ^nx (8.1)
n

1. 
   Eslatma: Shuni ta’kidlash lozimki, taqsimot deyilganda ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdorning mumkin bo‘lgan qiymatlari va ularning ehtimollari orasidagi moslik; matematik statistikada esa kuzatilgan variantalar va ularning chastotalari yoki nisbiy chastotalari orasidagi moslik tushuniladi.
   
2. 
   Eslatma. Hodisaning nisbiy chastotasi shu hodisaning ehtimoliga taqriban tengligini hisobga olsak, unda F*(x) empirik funksiya bo`sh to‘plam taqsimoti F(x) integral funksiyasini taqriban ifodalashini ko‘ramiz.
   

F(x)-taqsimotning nazariy funksiyasi ham deyiladi. Bundan, F*(x) funksiya F(x) ning barcha xossalariga ega ekanligi kelib chiqadi.
2-Misol. Tanlanmaning quyidagi taqsimoti bo`yicha uning empirik taqsimot funksiyasini tuzing.

X	2	5	7	8
ni	1	4	5	10

Yechilishi. Tanlanmaning xajmi n=1+4+5+10=20
Eng kichik varianta 2 ga teng, shuning uchun Х  2даP^{х }x^  0 Х<5 qiymat,

xususan, х=2 qiymat 1 marta kuzatilgan, demak,
2  x  5 да
F  x 
¹  0,05 ^;
20

Х<7 qiymatlar, jumladan х₁=2, х₂=5 qiymatlar 1+4=5 marta kuzatilgan, demak

5  x  7 da
F ^x 
⁵  0,25 ^{Х<8 qiymatlar}
10
x₁  2; х₂
 5; х₃
 7 qiymatlar 1+4+5=10

marta kuzatilgan demak
^{7  x  8 da} F ^x  ¹⁰  0,5 ^{, Х=8 qiymat, eng katta varianta}
20

bo`lgani uchun X>8 da F*(x)=1 Izlanayotgan empirik funksiya
^{x  2
}2  x  5
0
^да 0,5


F ^x  _5
 x  7
^да 0,25


^7  x  8
^_x  8
^да 0,5
да ₁

Poligon va gistogramma.

Ko`rgazmalilik maqsadida statistik taqsimotning turli grafiklari, jumladan, poligon va gistogramma yasaladi.
Chastotalar poligoni deb, kesmalari (x<sub>1</sub>,n<sub>1</sub>), (x<sub>2</sub>, n<sub>2</sub>)….(x<sub>n</sub>, n<sub>n</sub>) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Chastotalar poligonini yasash uchun absissalar uqiga xi variantalar, ordinatalar uqiga esa ularga mosini chastotalar qo`yib chiqiladi. So`ngra (x₁,n₁)nuqtalarni tutashtirib, chastotalar poligon hosil qilinadi. Nisbiy chastotalar poligoni deb kesmalari (x₁, W₁),
(x₂, W₂),…,(x_n, W_n) nuqtalarni tutashtiradigan siniq chiziqqa aytiladi. 3-misol. Chastotalar taqsimoti berilgan:

xi	1	3	5
ni	2	5	3

5

3
Chastotalar va nisbiy chastotalar poligonini yasang. Yechish. Nisbiy chastotalar taqsimotini yozamiz. n=n₁+n₂+n₃=2+5+3=10

2
W₁  ₁₀
 0,2
W₂  ₁₀
 0,5
W₃  ₁₀
 0,3

xi	1	3	5
Wi	0,2	0,5	0,3

Uzluksiz belgi bo‘lgan xolda gistogramma yasash maqsadga muvofiqdir. Buning uchun belgining kuzatiladigan qiymatlarini o`z ichiga olgan intervalni uzunligi h bo`lgan bir nechta qismiy intervallarga bo`linadi va har biri qismiy interval uchun ni ni i-intervalga tushgan variantalar chastotalari yig`indisi topiladi.
Chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallar,

balandliklari esa
ⁿⁱ nisbatlarga teng bo`lgan to`g`ri burchaklardan iborat
n

pog`onaviy shaklga aytiladi.
Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallar,

balandliklari esa
^Wi nisbatga teng bo`lgan tug`ri to`rtburchaklardan iborat
n

pog`onaviy shaklga aytiladi.
4-misol. Ushbu tanlanmaning chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammasini yasang.

qismiy interval.	(-10,..-5)	(-5, 0)	(0, 5)	(5, 10)	(10, 15)
ni	2	8	17	13	10
Wi	0,04	0,16	0,34	0,26	0,2

Yechish. h=5

Ta’rifga ko‘ra, nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzi barcha nisbiy chastotalar yig`indisi ya’ni birga teng:


S  h  ^Wi
h
 _W_i  1

i i

NAMUNAVIY MASHQLAR

1. 
   Kompyuterlarning 10 kunlik savdosidan firmada quyidagi natijalar kuzatilgan: 5,2,4,0,2,5,0,4,1,2. Tanlanmaning: 1) statistik va emperik taqsimotlarini toping; 2) emperik taqsimot funksiyasini tuzing va grafigini chizing; 3) nisbiy chastotalar poligonini yasang.
   

Y e c h i s h. 1) Tanlanmaning 0,0,1,2,2,2,4,4,5,5 varitsion qatori bo’yicha variantalar, chastotalar va nisbiy chastotalarni topamiz:

x₁  0,
n₁  2,
x₂ 1,
n₂ 1,
x₃  2,
n₃  3,
x₄  4,
n₄  2,
x₅  5;
n₅  2,

w₁  0,2, w₂  0,1,
5
w₃  0,3, w₄  0,2, w₅  0,2,
5

bu yerda _n_i  2  1  3  2  2  10,
i1
_w_i  0,2  0,1  0,3  0,2  0,2  1.
i1

Statistik va emperik taqsimotlarni tuzamiz:

2. 
   Emperik taqsimot qonuni asosida emperik taqsimot funksiyasini tuzamiz.
   

x₁  0 eng kichik varianta. Demak,
x  0 lar uchun
F ^ (x)  0 .
x 1 tengsizlikni

qanoatlantiruvchi variantalar uchun
x₁  0 nisbiy chastota
w₁  0,2 varianta bilan

kuzatilgan. Demak,
0  x 1 lar uchun
F ^* (x)  0,2. Shu kabi1 x  2 lar uchun

F ^* (x)  0,2  0,1  0,3,
2  x  4
lar uchun
F ^* (x)  0,3  0,3  0,6 va
4  x  5 lar

uchun
F ^ (x)  0,6  0,2  0,8.
x  5
eng katta varianta bo’lgani uchun
x  5 lar

uchun
F ^* (x)  1. Demak, izlanayotgan emperik taqsimot funksiyasi va uning

grafigi(1-shakl) qo’yidagi ko’rinishlarga ega:

2. 
   Koordinatalar tekisligida koordinatalari
   

.
.
1-shakl._. ^{. .}

(x_i ; w_i ) bo’lgan nuqtalarni belgilaymiz, ularni

kesmalar bilan tutashtiramib, nisbiy chastotalar poligonini hosil qilamiz (2-shakl).
2-shakl.

MUSTAHKAMLASH UCHUN MASHQLAR

1.Quyidagi tanlanma berilgan: 2,10,5,5,4,8,5,4,2,8,4,10,8,8,2.
Tanlanmani 1) variatsion qator; 2) chastotalar statistik taqsimoti; 3) nisbiy chastotalar statistik taqsimoti ko’rinishida tasvirlang.
Javob: 1) 2,2,2,4,4,4,5,5,5,8,8,8,8,10,10;

2. 
   Quyidagi statistik taqsimot bilan berilgan tanlanmalar uchun emperik
   

2) ;

taqsimot funksiyalarini toping:

3) ^.

1) ; _{2) ;}


3) .

Javob:

^ 0,

x  3,
^ 0,

x  1,
^ 0,

x  0,

_0,3,
3  x  5,
_0,2, 1  x  4,
_0,1,
0  x  2,


₁₎ ^0,5,
^ 0,9,

5  x  7,;
7  x  9,
₂₎ ^0,5,


^ 0,8,



4  x  6,.
6  x  7,
₃₎ ^0,4,


^ 0,8,



2  x  6,.
6  x  8,


^ 1,
x  9.
^ 1,
x  7.
^ 1,
x  8.

3. 
   Quyidagi emperik taqsimot bilan berilgan tanlanmalar uchun nisbiy chastotalar poligonini yasang:
   

1) ; 2) _.

4. 
   Tavakkaliga tanlangan 100 ta talaba bo’yini ( sm.da) o’lchash bo’yicha taqsimoti berilgan:
   

Talaba bo' yi	154 158	158 162	162 166	166 170	170 174	174 178	178 182
Talaba soni	12	16	20	26	14	10	2

Chastotalar gistogrammasini quring.


v