Chebishev tengsizligi

10-misol. Chebishev tengsizligidan foydalanib, ehtimollikni baholang.
Misollar ishlanishi bilan.
1-misol.Matematik kutilmasi dispersiyasi bo’lgan tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin. tasodifiy miqdor o’zining matematik kutilmasidan 3 ga chetlanish ehtimolligini yuqoridan baholang.

Yechish. Chebishev tengsizligida deb olamiz. U holda

bo’ladi. Yuqorida keltirilgan tengsizlikni matematik statistikada qoidasi deyiladi.

2-misol. X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:


Chebishev tengsizligidan foydalanib,


ehtimollikni baholaymiz. X tasodifiy miqdorning sonly xarakteristikalarini hisoblaymiz:

Chebishev tengsizligiga ko’ra:

3-misol. Malum bir omonat kassasiga qo’yilgan jamg’armalar
miqdori 20000000 so’mga teng ekan. Tasodifiy tanlangan jamg’armaning miqdori 100000 so’mdan kichik bo’lish ehtimoli 0.8 teng bo’lsa, shu omonat kassasiga pul qo’ygan mijozlarning soni haqida nima deyish mumkin?
Yechish. X tasodifiy miqdor tasodifiy ravishda tanlangan jamg'armaning miqdori va n esa omonat kassasiga pul qo’ygan barcha mijozlarning soni bo’lsin. Masalaning shartiga ko’ra:
: P
Markov tengsizligi dan quyidagilarni hosil qilamiz:
:

4-misol. . Chebishev tengsizligidan foydalanib, tasodifiy miqdor o’zining matematik kutilmasidan uch karra o’rtacha kvadratik chetlashishdan kamroq miqdorga farq qilish ehtimolini baholang.
Yechish. Masalaning shartiga asosan Bu qiymatni Chebishev tengsizligiga qo’ysak,

.
5-misol. Har birining disperiyasi 3 dan katta bo’lmagan 1500
ta bog’liqsiz tasodifiy miqdorning o’rtacha arifmetik qiymati ularning matematik kutilishlarining o’rtacha arifmetigidan chetlanishi 0.6 dan katta bo’lmaslik ehtimolini baholang.
Yechish. N ta tasodifiy miqdorning o’rtacha arifmetik qiymati ham tasodifiy miqdor bo’ladi. Bu tasodifiy miqdorning matematik kutilishi ga teng. Chebishev tengsizligi
ga asosan quyidagini hosil qilamiz:


6-misol. Qurilma 10 ta o’zaro bog’liq bo’lmagan elementdan tashkil topgan. Har bir elementning T vaqtda ishdan chiqish ehtimoli 0.05 ga teng. Chebishev tengsizligidan foydalanib, ishdan chiqqan elementlar soni va ularning T vaqt ichidagi o’rtacha soni (matematik kutilmasi) orasidagi farq absalyut qiymati bo’yicha 2 dan kichik bo’lish ehtimolini toping.
Yechish. X — A vaqt ichida ishdan chiqqan elementlar soni va parametrli binomial taqsimotga ega bo’lgan diskret tasodifiy miqdor. Shuning uchun . Chebishev tengsizligi

dan foydalanib va qiymatlarni o’rniga qo’ysak,

7-misol. Qurilma 10 ta o’zaro bog’liq bo’lmagan elementdan tashkil topgan. Har bir elementning T vaqtda ishdan chiqish ehtimoli 0.05 ga teng. Chebishev tengsizligidan foydalanib, ishdan chiqqan elementlar soni va ularning T vaqt ichidagi o’rtacha soni (matematik kutilmasi) orasidagi farq absalyut qiymati bo’yicha 2 dan kichik emas bo’lish ehtimolini toping.