Chebishev tengsizligi

F(x) = P(4 < x) =
агат x < 0.

q, agar 0 < x

1

asar
x > 1

bo‘ladi.

2.^F{-^{x 1} taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:

Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan ^ tasodifiy
miqdor [^a-^l oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Endi taqsimot funksiyasi xossalarini keltiramiz. ^ tasodifiy
miqdorning taqsimot funksiyasi ^{F( v)} bo‘lsin. U holda ^r' ^{Y I} quyidagi xossalarga ega:
FI. agar ^x- ~ bo‘lsa, u holda ^^T-¹ -^(х₂) (_m0notonlikxossasi); F2. ■' ' " ■' (chegaralanganlik xossasi);
рз *->чго ^ " ^ (chapdan uzluksizlikxossasi).
Teorema. Agar ^r) funksiya FI, F2 va F3 xossalarga ega bo‘lsa,
u holda shunday (^Q^^p) ehtimollik fazosi va unda
aniqlangan - tasodifiy miqdor mavjud bo‘lib, ■^гЛ^л' ^{= г}'^л' bo‘ladi.
Endi ko‘p uchraydigan taqsimotlarga misollar keltiramiz.

3. 
   misol. $ tasodifiy miqdor “birlik” (xos) taqsimotga ega deyiladi,
   

agar biror a haqiqiy son uchun ^p{4 = ^a) ^{= 1} bo‘lsa. Bu taqsimot uchun taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:


4-misol. Agar - tasodifiy




ehtimolliklar bilan qabul qilsa, bu tasodifiy miqdor binomial qonun
bo‘yicha taqsimlangan deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi. Ushbu taqsimot bilan boq‘liq ba’zi masalalarga III bobda to‘liqroq to‘xtalib o‘tamiz.

5-misol. Agar - tasodifiy miqdor 2.... qiymatlarni







6-misol. Agar - tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, uni Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:
ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda ^ ^{>0? _oc} - o‘zgarmas sonlar. Agar e = o,<7 = i bo‘lsa,
bo‘ladi. Ushbu emas. Bundan ^a va & lar taqsimotning “siljishi” va ega bo‘lishligi kelib chiqadi.

bunday taqsimlangan tasodifiy miqdor standart normal taqsimotga ega deyiladi va uning taqsimot funksiyasi

Ф

tenglikni tekshirib ko‘rish qiyin mos ravishda
masshtabi” parametrlari ma’nolariga
7-misol. Agar - tasodifiy miqdor ^ qiymatlarni

ehtimolligiklar bilan qabul qilsa, uni geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi

Ba’zida tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasi yordamida emas, balki boshqa usullarda aniqlanishi mumkin. Aniq qoidalar orqali tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topish imkoniyatini beruvchi har qanday xarakteristika tasodifiy miqdorning

taqsimot qonuni deb ataladi. Biror ^ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni sifatida -^Y- - - ^< tengsizlik ehtimolligini
aniqlovchi interval funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan
ham, agar ^p{^ri^} ma’lum bo‘lsa, u holda taqsimot funks iy as ini ^F1,^r) = ^p < .^r)
formula orqali topishimiz mumkin. 0‘z navbatida, yordamida ixtiyoriy ^x- va ^xi lar uchun funksiyani topishimiz mumkin:
Tasodifiy miqdorlar orasidan chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qiladiganlarini ajratib olamiz. Bunday tasodifiy miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Musbat ehtimolliklar
bilan -b-№" qiymatlarni qabul qiluvchi ^ tasodifiy miqdorni
to‘laligicha xarakterlash uchun ^{= =} ehtimolliklarni bilish
yetarli, ya’ni ehtimolliklarni barchasi yordamida ^{F( v)} taqsimot funksiyasini quyidagi tenglik yordamida topish mumkin:
bu yerdayig‘indi **^{< x} bo‘lgan indekslar uchun hisoblanadi.
Diskret taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida berish qulay bo‘ladi, ya’ni

Qiymatlar	* 2 х2 к
Ehtimolliklar	P\ P2 РЪ ■■■

p_;:=p{£ = x_;:}> 0, 2>:_;=l Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek, -=- .
Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini - uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti ni ixtiyoriy Borel to‘plami В uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan ^ tasodifiy miqdorlar kiradi:
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
0‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha * ^{e R} lar uchun
ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday xossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
fx) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi {zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya

uchun
qonun

Masalan,

l


=

tenglik o‘rinli. uchun zichlik
~
e

parametrli normal funksiyasi quyidagicha

(_a,o-²)

bo‘ladi:
zichlik funksiyasi ^{x = a} nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi ^x =^a to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun Ox o‘q gorizontal
asimptota, * = я ± <т nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga & parametrning ta’sirini

1) ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda ning a=0 va ^У 4 ■ 2)o"-l
^j) = ⁴ bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar a # о bo‘Isa ham zichlik funksiyasi grafigi xuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli barcha
nuqtalarda ^F ^^{Y l = 0} bo‘lib, ^F^~^ ~^F(~^ ^{= 1} tenglik o‘rinli.


10-rasm
2.Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari Endi boshqa tasodifiy miqdorlarning funksiyalari bo‘lgan tasodifiy miqdorning tsqsimot funksiyasini topish masalasini ko‘raylik.

Mayli, ^{< x}) va Borel funksiyasi bo‘lsin. U

holda V=g(4) tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi quyidagiga teng:
Agar - kamaymaydigan funks iya bo‘lib, uning uchun teskari ^{I ( Y1} funks iya aniqlangan bo‘Isa, u holda
Xususan, agar uzluksiz bo‘lsa, ^ tasodifiy
miqdor [°^rll oraliqda tekis taqsimlangan bo‘ladi. Aksincha, tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor va F berilgan taqsimot funksiyasi
bo‘lsin. U holda " ^{_ F ( 71} tasodifiy miqdor ^v) taqsimot funksiyasiga ega bo‘ladi.
Boshqa xususiy holda, ya’ni ^{= a+bx}, b > 0 holatda
x-a
^Frt)(^x) = ^Ft
v " bo‘ladi.

• 
  bo‘Isa, ■* < ⁰ uchun ^Ff> M~~ ⁰, x > о uchun esa
  

Agar ^ ^ ^ ^ ^ ^
Enditasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topish masalasini qaraylik.
Yuqoridagilarga qo‘shimcha ravishda ^s funks iya
differensiallanuvchi va ^ tasodifiy miqdor ^{r i Y I} zichlik funksiyasiga
ega bo‘lsin. U holda ¹ ning quyidagi zichlik funksiyasi mavjud

1-misol. Agar -- va & o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan va I^0?1l da tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo‘Isa, u holda ^ ⁼ - -2 uchun

Misol uchun ^{a bx}, b> 0 bo‘lganda
bo‘ladi.

agar 1 bo‘lsa,

Shunday qilib,

Funksional, statistic va korrelyatsion bog’lanishlar. Shartli o’rtacha qiymatlar. Korrelyatsion bog’liqlik

• 
  1-ta ’rif. Agar X belgining har bir mumkin
  

bo’lgan qiymatiga Y belgining bitta mumkin bo’lgan qiymati mos kеlsa, u holda Y X belging funksiyasi dеyiladi:

• 
  Y=f(X).
  
• 
  Y=X2 funksiyaning taqsimoti topilsin.
  
• 
  Yechish. Y ning mumkin bo’lgan qiymatlarini topamiz: y1=4 y2=9. U holda Y ning taqsimoti:
  

Funksional bog’lanishlar aniq va tabiiy fanlar: matematika, fizika, ximiya va boshqa fanlarda ayniqsa yaqqol kuzatiladi. Masalan, termometrdagi simob ustunining balandligi X havo harorati Y haqida aniq va bir qiymatli ma’lumot beradi; aylana radiusi R va uning uzunligi C orasida C=2nR geometriyadan ma’lum bo’lgan formula bilan aniqlangan funksional bog’lanish mavjuddir. Iqtisodiy jarayonlarda, umuman jamiyatning boshqa sohalarida tasodifiy belgilar orasida qat’iy funksional bog’lanish kamdan-kam uchraydi. Buning asosiy sabablaridan biri belgilarga ta’sir etuvchi faktorlarning xilma-xilligi va tasodifiyligidir. Bu holatda belgilar orasidagi moslik statistik bog’lanish bo’lishi mumkin.
. M(Y)=32+1 = 7, o(Y)=30,5=1,5

• 
  U holda Y ning zichlik funksiyasi: 2-ta ’rif. Agar miqdorlardan birining o’zgarishi ikkinchi miqdor taqsimotining o’zgarishiga olib kelsa, u holda bu ikki miqdor orasidagi bog’lanishga statistik bog’lanish deyiladi. Masalan, agar Y(Z1, Z2, V1, V2,) va X(Z1, Z2, U1,U2,) (Zi, Ui, Vi-tasodifiy faktorlar) lar berilgan bo’lsin. Bu holda Y va X lar orasidagi bog’lanish statistik bog’lanish deyiladi, chunki ularning har biri bog’liq bo’lgan tasodifiy faktorlar ichida umumiylari: Z1, Z2 va umumiy bo’lmaganlari: Vi, Ui (i=1,2)bor. Statistik bog’lanishni matematik ifodalash murakkab, shu sababli uning xususiy hollaridan biri hisoblangan korrelyatsion bog’lanish bilan tanishib chiqamiz. 3- ta ’rif. Agar bir-biriga statistik bog’lanishda bo’lgan ikki miqdordan birining o’zgarishi ikkinchi miqdor o’rtacha qiymatining o’zgarishiga olib kelsa, u holda bunday statistik bog’lanish korrelyatsion bog’lanish deb ataladi. Bir-biri bilan korrelyatsion bog’lanishda bo’lgan tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz.
  

Mehnat unumdorligi X va jami ishlab chiqarilgan mahsulot Y; 2. Yig’ib olingan hosil miqdori Yva ishlatilgan o’g’itlar miqdori X 3. Jami mahsulot miqdori X va korxonaning ish haqi fondi Y; 4. Sarflangan kapital mablag’lar X va shu mablag’lardan olingan sof foyda Y; 5. Korxonaning texnika bilan qurollanganlik darajasi X va mehnat unumdorligi ko’rsatkichi Y. Yuqoridagi ta’rifdan ko’rinib turibdiki, korrelyatsion bog’lanishni matematik ifodalash, ya’niy=f(x) ko’rinishda yozish, uchun shartli o’rtacha tushunchasini kiritishimiz kerak.

• 
  4-ta ’rif. X=x qiymatga mos keluvchi Y ning kuzatilgan qiymatlarining arifmetik o’rtachasini shartli o’rtacha deb ataymiz.
  
• 
  Xuddi shunday usulda shartli o’rtacha tushunchasi ham aniqlanadi.
  
• 
  5-ta ’rif. Y=y qiymatga mos keluvchi X ning kuzatilgan qiymatlari arifmetik o’rtachasini shartli o’rtacha deb ataymiz.
  
• 
  Agar kuzatishlar soni ko’p, ya’ni xi qiymat marta, qiymat marta, (xi,yi) juftliklar marta takrorlanishi mumkin bo’lsa, u holda yuqoridagi jadval o’rniga korrelyatsion jadval yoki korrelyatsion panjara deb ataluvchi jadval hosil bo’ladi. lar mos lar ravishda xi,yi,(xi,yi) larning chastotalari deyiladi. belgilash kiritib quyidagi jadvalni hosil qilamiz. Bu erda
  
• 
  Bu holatda shartli o’rtacha tushunchasidan foydalanishimiz zarur.
  

•